암묵적으로 y ^ 2 / x = x ^ 3 - 3yx ^ 2를 어떻게 구별 할 수 있습니까?

대답:

제품 및 지수 규칙을 사용하고 지루한 대수를 많이 사용해야합니다. # dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #.

설명:

우리는 왼쪽에서 시작할 것입니다:

# y ^ 2 / x #

이것을 파생하기 위해서 우리는 다음의 몫 규칙을 사용할 필요가 있습니다:

# d / dx (u / v) = (u'v-uv ') / v ^ 2 #

우리는 가지고있다. # u = y ^ 2-> u '= 2ydy / dx # 과 # v = x-> v '= 1 #, 그래서:

# d / dx (y ^ 2 / x) = ((2ydy / dx) (x) - (y ^ 2) (1)) / (x) ^ 2 #

# -> d / dx (y ^ 2 / x) = (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 #

이제 오른쪽 측면:

# x ^ 3-3yx ^ 2 #

우리는 sum 규칙과 상수 규칙의 곱셈을 사용하여이를 깨뜨릴 수 있습니다.

# d / dx (x ^ 3) -3d / dx (yx ^ 2) #

이들 중 두 번째 제품 규칙이 필요합니다:

# d / dx (uv) = u'v + uv '#

와 # u = y-> u '= dy / dx # 과 # v = x ^ 2-> v '= 2x #. 그래서:

# d / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2 - ((dy / dx) (x ^ 2) + (y) (2x)

# -> d / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2 - x ^ 2dy / dx + 2xy #

우리의 문제는 이제 읽습니다.

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

추가 할 수 있습니다. # x ^ 2dy / dx # 양측에 배제하고 # dy / dx # 그것을 격리시키기:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

(2xydy / dx) / x ^ 2 + x ^ 2dy / dx- (y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2 + 2xy #

(x2 + x2) = 3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2 #

# -> dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

대수학을 좋아하길 바란다. 이것은 단순화 될 필요가있는 하나의 불쾌한 방정식이기 때문이다.

# dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

(2x ^ 3y) / x ^ 2 + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) 4 / x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy + x ^ 4) / x ^ 2) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2 * x ^ 2 / (2xy + x ^ 4) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #