리만 적분을 사용하여이를 해결 하시겠습니까?

대답:

# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # 또는 # approx 1.302054638 … #

설명:

무한한 제품으로 문제를 푸는 가장 중요한 정체성은 무한한 문제의 문제로 변환됩니다.

a_3 = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

힘:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

그러나 우리가 이것을 할 수 있기 전에 먼저 방정식에서 # frac {1} {n ^ 2}을 다루어야하고, btw는 무한한 L이라고 부릅니다.

1)} {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1}} frac {1} {n} {n}} #

2) (1 + frac {k ^ 2} {n ^ 2} proc_ { 2}) ^ { frac {1} {n}} #

2) {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) {{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}} {{} {{} { ^ { frac {1} {n}} #

이제 이것을 무한한 합계로 변환 할 수 있습니다.

1) {n} (1 + frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n} (1 + frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1}} {lim { {n}}) #

로그 속성 적용:

1) {{{{{{{{{{{{{{{{{}} {} {} { }) #

그리고 한계 속성 사용:

# 1 = {{{{{{{{{{{}}} {L = exp { lim_ {n} ~ { n} }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

무한 합 S를 부르 자.

1) {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

그리고 명심하십시오.

# L = exp (S) #

이제 귀하의 질문을 리먼 SUM ~에 정의 통합:

리만 합계의 정의는 다음과 같습니다.

힘:

(a + k (frac {ba} {n}) {} {{} { })) * frac {ba} {n} #

방해

frac {ba} {n} = lim_ {n} ~ {n} ~ {n} {n} ~ {n} ~ {1}} {n} ~ {n}

이제 # f (x) = ln (1 + x ^ 2) 및 a = 0 #

# (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

따라서, b = 1 즉, # (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

따라서,

1) {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

해결할 # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

부품별로 통합 사용:

# int uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

방해 # u = ln (1 + x ^ 2) 및 v = 1 #

그런 다음 체인 규칙과 자연 로그의 파생어를 사용하여 # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

다음을 얻는 힘 규칙을 사용하십시오: # int 1dx = x #

#x int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx

# = ln (1 + x ^ 2) * x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx 빼기 규칙 사용:

# xln (1 + x ^ 2) - 2 frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

첫 번째 적분에는 전력 규칙을 사용하고 두 번째 적분은 표준 삼각 함수입니다 # arctan (x) # (탄젠트 함수의 역함수)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

그러므로, 2x + 2 arctan (x) + C # (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

이제 확실한 적분을 해결하십시오.

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

우리는 반 (反) 파생 상품이 2 x + 2 arctan (x) + C # (x) = xln (1 + x2), 따라서

(1) - F (0) # S = F (x) | _ {x = 0}

# 1 = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

arctan (1)은 45 ° 또는 # frac { pi} {4} # (사이드 길이가 1,1 인 특수 직각 삼각형을 생각해보십시오. # sqrt {2} # 각도 45 °, 45 °, 90 °) 및 # arctan (0) = 0 #

그러므로 (2) - 2 + 2 (frac { pi} {4}) = ln (2) - 2 +

또는 # approx 0.263943507354 … #

= L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac { pi} {2}} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e { pi} {2}} #

# 1 = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

따라서 해결책은 1) {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n} }} = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # 또는 # approx 1.302054638 … #