F를 찾아서 적분을 '계산'하시겠습니까?

대답:

아래 참조

설명:

# e ^ f (x) + f '(x) + 1 = 0 #

# e ^ y + y '+ 1 = 0, qquad y = f (x) #

# y '= - 1 - e ^ y #

# (dy) / (1 + e ^ y) = - dx #

#z = e ^ y, qquad dz = e ^ y dy = z dy #

#int (dz) / (z (1 + z)) = - int dx #

#int dz 1 / z - 1 / (1 + z) = - int dx #

#ln (z / (1 + z)) = C - x #

# e ^ y / (1 + e ^ y) = e ^ (C - x) #

IV 사용:

• # e ^ (C - x) = 1 / (e ^ (- y) + 1) #

• #lim_ (x에서 0) y = + oo는 C = 0을 의미 함 #

# e ^ y (1 - e ^ (- x)) = e ^ (- x) #

(1-e ^ (- x)) = 1 / (e ^ x-1) # e ^

#y = ln (1 / (e ^ (x) -1)) #

그만큼 보여 주다 비트

#I = int_ (ln2) ^ 1 e ^ y (x + 1) dx #

# = - int_ (ln2) ^ 1 (1+ x) (1 + y ') dx #

(int) (ln2) ^ 1 y ' dx) - int_ (ln2) ^ 1 xy' dx #

# (ln2) ^ 1 y ' dx) = ln (1 / (e ^ (x) -1) _ (ln2) ^ 1 = - ln (e-1) #

# 1 개의 x + dx - int_ (ln2) ^ 1 xy ' dx #

• # int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx gt 0 #

• # int_ (ln2) ^ 1 xy ' dx gt 0 #

#implies I lt ln (e-1) #

대답:

#f (x) = c -x-ln (1-e ^ (c-x)) #

나는 아직 불평등을 증명할 수는 없지만보다 강한 불평등을 발견했다.

설명:

방해 # g (x) = e ^ (f (x)) # 그래서, 체인 규칙을 사용:

# g '(x) = f'(x) e ^ (f (x)) #

이제 유의하십시오.

#f (x) = ln (g (x)) #, 그래서:

#f '(x) = (g'(x)) / (g (x)) #

원래 방정식을 대입하면 다음과 같습니다.

# g (x) + (g '(x)) / (g (x)) +1 = 0 #

그리고 정의에 의하면 # g (x)> 0 #:

# (dg) / dx + g ^ 2 (x) + g (x) = 0 #

분리 가능한:

# (dg) / dx = -g ^ 2-g #

# (dg) / (g (g + 1)) = -dx #

#int (dg) / (g (g + 1)) = -int dx #

부분 분수를 사용하여 첫 번째 멤버 분해:

# 1 / (g (g + 1)) = 1 / g-1 / (g + 1) #

그래서:

#int (dg) / g- int (dg) / (g + 1) = - int dx #

#ln g - ln (g + 1) = -x + c #

로그의 속성 사용:

#ln (g / (g + 1)) = - x + c #

# g / (g + 1) = e ^ (c-x) #

이제 해결할 #지#:

# g = e ^ (c-x) (g + 1) #

# g (1-e ^ (c-x)) = e ^ (c-x) #

그리고 마지막으로:

(c-x) / (1-e ^ (c-x)) #

지금:

= ln (e ^ (cx)) -ln (1-ce ^ -x)) #

#f (x) = c -x-ln (1-e ^ (c-x)) #

우리는 #기음# 조건에서:

#lim_ (x-> 0) f (x) = + oo #

같이:

(1-e ^ (c-x)) = c-ln (1-e ^ c) #

그렇지 않으면 유한하다. # c = 0 #.

그때:

#f (x) = -x-ln (1-e ^ -x) #

이제 적분을 고려하십시오.

(x + 1) dx = int_ (ln2) ^ 1 e -x / (1-e ^ -x) (x + 1) dx #

같이:

(x + 1) = (x * e ^ x + 1) / (e ^ x-1) ^ 2 #

우리는 통합의 간격에서 함수가 엄밀하게 감소하고 있음을 알 수 있습니다. 따라서 그것의 최대 값 #엠# ~ 발생하다 # x = ln2 #:

(ln2 + 1) = (1/2) / (1-1 / 2) (ln2 + 1) = (ln2 + 1) #M = (e1-ln2 /

그때:

(x + 1) dx <= M (1-ln2) #

(x + 1) dx <= 1-ln ^ 2 2 #

대답:

여기 또 하나있다.

설명:

#에이)#

# e ^ f (x) + f '(x) + 1 = 0 # # <=> ^ (* e ^ (- f (x)) #

f (x)) = 0 # 1 + f '(x) #<=>#

(x)) = 1 + e ^ (- f (x)) # -f '(x) #<=>#

(x)) = 1 + e ^ (- f (x)) # #<=>#

(1 + e ^ (- f (x))) '= 1 + e ^ (- f (x)) ## <=> ^ (x> 0) #

그래서 거기 #기음##에서## RR #, # 1 + e ^ (- f (x)) = ce ^ x #

• lim_ (uto-oo) e ^ u = 0 # (xo, yo) = (xto0, yo)

과 (xto0) ce ^ x # (1) = lim_ (xto0) #<=>#

# c = 1 #

따라서, # 1 + e ^ (- f (x)) = e ^ x # #<=>#

# e ^ (- f (x)) = e ^ x-1 # #<=>#

# -f (x) = ln (e ^ x-1) # #<=>#

#f (x) = - ln (e ^ x-1) # #color (흰색) (aa) #, #x> 0 #

#비)#

# int_ln2 ^ 1 (e ^ f (x) (x + 1)) dx <#ln (e-1) #

#f (x) = - ln (e ^ x-1) #,#x> 0 #

# f '(x) = - e ^ x / (e ^ x-1) #

(x + 1) / (e ^ x-1) # -f '(x) = e ^ x / ''#=#''

• # int_ln2 ^ 1f '(x) dx> int_ln2 ^ 1 (x + 1) / (e ^ x-1) dx # #<=>#

# int_ln2 ^ 1 (x + 1) / (e ^ x-1) dx <F (0) = ln (e-1) # - f (x) _ln2 ^ 1 = -f

그러나 우리는

1) = (x + 1) / (e ^ x-1) # e ^ f (x + 1) = e ^

그래서, # int_ln2 ^ 1 (x + 1) e ^ f (x) dx <#ln (e-1) #