회전 된 x'y '시스템에서 방정식을 x'y'항없이 다시 작성하십시오. 도움을받을 수 있을까요? 감사!

대답:

두 번째 선택:

# x ^ 2 / 4 + y ^ 2 / 9 = 1 #

설명:

주어진 방정식

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1"#

원뿔형 단면에 대한 일반적인 데카르트 형식입니다.

# Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

어디에 #A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 및 F = -144 #

기준 축의 회전은 우리가 원뿔 곡선을 지정된 각도로 회전시킬 수있는 방정식을 제공합니다. # theta #. 또한, 그것은 우리에게 우리가 계수를 강제로 허용하는 방정식을 제공합니다. # xy # 0이됩니다.

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

방정식 1의 값을 대입하면:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

단순화:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

방정식 (9.4.4b)를 사용하여 새로운 회전으로 인해 # xy # 용어는 0:

# B '= (A-C) sin (2θ) + Bcos (2θ) #

# B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)

# B '= 0 larr # 검증 됨.

방정식 (9.4.4a)를 사용하여 #에이'#:

(A + C) / 2 + (A-C) / 2 cos (2θ) -B / 2sin (2θ) #

= (31 + 21) / 2 + (31-21) / 2 cos (2π / 6) - (10sqrt3) / 2sin (2π / 6)

#A '= 36 #

방정식 (9.4.4c)를 사용하여 #기음'#:

(C-A) / 2 cos (2θ) + B / 2sin (2θ) #C '= (A + C) / 2 +

= (31 + 21) / 2 + (21-31) / 2 cos (2π / 6) + (10πrt3) / 2sin (2π / 6)

#C '= 16 #

방정식 (9.4.4f)를 사용하여 #에프'#

# F '= F #

# F '= -144 #

이제 우리는 회전하지 않은 형식을 작성할 수 있습니다.

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

144로 양쪽을 나누십시오:

# x ^ 2 / 4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

양면에 1을 더합니다.

# x ^ 2 / 4 + y ^ 2 / 9 = 1 #

대답:

옵션 B

설명:

방정식을 행렬 형식으로 작성한 다음 주축으로 회전시킬 수 있습니다.

방해:

(x, y) = Q # (x, y) b, c

= (x, y) (ax + by), (bx + cy) = Q #

# = ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

#implies a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

그리하여 매트릭스 형태로:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 qquad square #

축을 회전하려면 # bbx # 으로 # theta #:

#bb x ^ '= R (세타) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

조 변경 # bb x ^ '= R bb x #:

#implies bb x ^ ('^ T) = (Rbbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#implies bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #, R은 직각이므로

• #implies bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

이 마지막 2 가지 결과를 #광장#:

Rb (x1) bb x2 '= 144 # (b1, b2)

IOW 경우 아르 자형 대각선 행렬입니다. 엠, 그러면 우리는 대각 고유 벡터 행렬의 주축에 대한 방정식을 갖게됩니다 디, 즉:

• #D = R M R ^ (- 1) #

엠 의 고유 값은 36과 16이므로 diagonalised 수 있습니다:

(0, 16) bb x ^ '= 144 # (b, b)

# (x ', y') = (9,0), (0, 4)

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ ('^ 2) / 9 = 1 #