82의 제곱근은 얼마입니까?

대답:

# 10> sqrt82> 9 #, # sqrt82 ~~ 9.0554 #

설명:

#x_ "n + 1"= 1 / 2 (x_ "n"+ S / x_ "n") sqrtS # …에 대한 #n -> oo #

S는 sqaure 루트를 알 수있는 수입니다. 이 경우 # S = 82 #

이것이 의미하는 것과 사용 된 방법을 요약합니다.

먼저, 82의 제곱근은 무엇일까요?

81의 제곱근은 9이므로 9보다 슬라이스가 더 높아야합니까?

우리의 추측은 #x_ "0"#, 9.2를 보자. #x_ "0"= 9.2 #

수식에 9.2를 "x"로 삽입하면 우리에게 줄 것입니다. #x_ "0 + 1"= x_ "1"#

이것은 우리가 방정식에 넣은 다음 숫자가 될 것입니다. 이것은 우리가 9.2 = #x_ "0"#, 이것은 우리에게 숫자를 주었다. #x_ "1"#이 숫자를 삽입하면 우리에게 줄 것이다. #x_ "2"#, 우리에게 줄 것이다. #x_ "3"# 계속해서 이전 번호를 삽입 할 때 다음 번호를 알려줍니다. 방정식의 오른쪽은 "#->#""n "이 커지면 그 수는 S의 제곱근에 더 가깝고 더 가깝다는 것을 의미합니다.이 경우 82입니다.

같은 계산을 100 번했다고 가정 해 봅시다! 그럼 우리는 #x_ "100"#. 이 수는 S의 제곱근에 매우 가깝습니다.

이야기하기에 충분합니다. 실제 계산을 해봅시다!

우리는 우리의 추측으로 시작합니다. #x_ "0"= 9.2 #

# x_ "1"= 1/2 (9.2 + 82 / 9.2) ~~ 9.05652 #

이제 새로운 번호로 똑같이하십시오: # x_ "2"= 1 / 2 (9.05652 + 82 / 9.05652) ~~ 9.05549 #

지난 번에 한 번 해보 죠. # x_ "3"= 1 / 2 (9.05549 + 82 / 9.05546) ~~ 9.0554 #

그 의미는 # sqrt82 ~~ 9.0554 #

그리고 당신은 그것을 가지고 있습니다!

모든 이야기가 성가시다면 미안 해요. 나는 그것을 깊이 있고 간단한 방식으로 설명하려고 노력했다. 수학 분야의 특정 분야에 익숙하지 않다면 항상 좋다. 왜 수학을 설명 할 때 어떤 사람들은 그렇게 호화 스러워야하는지 모르겠다.:)

대답:

#sqrt (82) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …))))) ~~ 9.0553851381374 #

설명:

의 주요 factorisation #82#:

#82 = 2*41#

사각형 인자가 없기 때문에, #sqrt (82) # 단순화 될 수 없다. 그것은보다 비현실적인 숫자입니다. #9#.

그러나 #82=81+1 = 9^2+1#.

이것은 형식이므로 # n ^ 2 + 1 #, 제곱근은 연속적인 분수로서 매우 규칙적인 형태를 가지고 있습니다:

(18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …)))) # (9)

더 일반적으로:

2n + 1 / (2n + 1 / (2n + …))))) # (nn + 1) =

더 일반적으로 여전히:

2n + m / 2n + m / (2n + m / (2n + …)))) #sqrt (n ^ 2 + m)

어쨌든, 우리는 합리적인 근사를 얻기 위해 연속 분수를 사용할 수 있습니다. #sqrt (82) # 잘라 버림으로써.

예:

#sqrt (82) ~~ 9; 18 = 9 + 1 / 18 = 163 / 18 = 9.0bar (5) #

#sqrt (82) ~~ 9; 18,18 = 9 + 1 / (18 + 1 / 18) = 2943/325 = 9.05bar (538461) #

#sqrt (82) ~~ 9; 18,18,18 = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / 18)) = 53137/5868 ~~ 9.05538513974 #

계산기가 나에게 다음과 같이 알려줍니다.

#sqrt (82) ~~ 9.0553851381374 #

따라서 우리의 근사값은 몫의 총 자릿수만큼 유효 숫자만큼 정확하다는 것을 알 수 있습니다.