닫힌 간격 0에서 pi까지의 곡선 y = -4sin (x) 및 y = sin (2x)에 의해 경계되는 영역을 어떻게 찾을 수 있습니까?

대답:

평가하다

# int_0 ^ π | -4sin (x) - 신 (2x) | dx #

지역: #8#

설명:

두 개의 연속 함수 사이의 영역 #f (x) # 과 #g (x) # 위에 #x in a, b #:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

따라서 우리는 언제 발견해야만 하는가? #f (x)> g (x) #

곡선을 함수로 둡니다.

#f (x) = - 4sin (x) #

# g (x) = sin (2x) #

#f (x)> g (x) #

# -4sin (x)> 죄 (2x) #

그것을 아는 것은 #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# 4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

으로 나누기 #2# 그것은 긍정적이다:

sin (x) cos (x) # sin (x)

으로 나누기 # sinx # 사인을 뒤집지 않고 #sinx> 0 # 매회마다 #x in (0, π) #

# -2> cos (x) #

그 후로는 불가능합니다.

# -1 <= cos (x) <= 1 #

따라서 초기 진술은 사실 일 수 없습니다. 따라서, #f (x) <= g (x) # 매회마다 #x in 0, π #

적분 값은 다음과 같이 계산됩니다.

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) + 4sin (x)) dx #

# int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

(x) _0 ^ π-4 cos (x)

-1 / 2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#