도와주세요. 모든 것을 곱하지 않고이 작업을 빠르게 수행하는 방법을 모르겠습니다.

대답:

대답은 (나는) ~이다. #240#.

대답은 (ii) ~이다. #200#.

설명:

우리는 아래와 같이 Pascal 's Triangle을 사용하여이를 수행 할 수 있습니다.

(나는)

지수가 #6#삼각형의 여섯 번째 행을 사용해야합니다. #color (보라색) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # 과 #color (보라색) 1 #. 기본적으로, 우리는 #color (파란색) 1 # 첫 번째 용어로 #color (빨강) (2x) # 두 번째로. 그러면 다음 방정식을 만들 수 있습니다. 첫 번째 용어의 지수는 다음과 같이 증가합니다. #1# 각 시간과 두 번째 용어의 지수는 #1# 삼각형에서 각 용어와 함께.

# (color (purple)) 1 * color (blue) (1 ^ 0) * color (red) ((2x) ^ 6) 빨강) ((2x) ^ 5)) + (색상 (자주색) 15 * 색상 (파랑) (1 ^ 2) * 색상 (빨강) ((2x) ^ 4) 파란색 (1 ^ 3) * 색상 (빨간색) ((2x) ^ 3)) + (색상 (보라색) 15 * 색상 (파란색) (1 ^ 4) * 색상 (빨간색) ((2x) ^ 2)) + (색상 (보라색) 1 * 색상 (파란색) (1 ^ 6) * 색상 (빨간색) 빨간색) ((2x) ^ 0)) #

그러면 우리는 그것을 단순화 할 수 있습니다.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

따라서, # x ^ 4 # ~이다. #240#.

(ii)

우리는 이미 # (1 + 2x) ^ 6 #. 이제 우리는 두 표현식을 함께 곱할 수 있습니다.

#color (갈색) (1-x (1/4)) * 색상 (주황색) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1) #

계수는 #엑스# …에서 # 1-x (1/4) # ~이다. #1#. 그래서 우리는 다른 표현식에서 지수의 값을 #1#. 우리는 계수가 필요하기 때문에 # x ^ 4 #, 우리는 단지 번식해야합니다. # 160x ^ 3 # 으로 # 1-x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

이제 추가해야합니다. # 240x ^ 4 #. 이것은 해결책의 한 부분입니다. # 240x ^ 4 * (1-x (1/4)) #,에 의한 곱셈 때문에 #1#. 그것은 또한 중요한 지수이기 때문에 중요하다. #4#.

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #

따라서, 계수는 #200#.

대답:

나는. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

설명:

에 대한 이항 확장 # (a + bx) ^ c # 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

#sum_ (n = 0) ^ c (c!) / (n! (c-n)!) a ^ (c-n) (bx) ^ n #

1 부에서는 # n = 4 #:

# (6!) / (4! (6-4)!) 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

2 부에서 우리는 또한 # x ^ 3 # 기간 때문에 # x / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720 / 36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (-x / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #