(z-1) ^ 3 = 8i에 대한 해답은 무엇입니까?

대답:

# sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} # #

설명:

이 문제를 해결하기 위해 Google은 # n ^ "th"# 복소수의 뿌리. 이를 위해 ID를 사용합니다.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

이 ID로 인해 모든 복소수를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

# a + bi = Re ^ (itheta) # 어디에 #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # 과 #theta = arctan (b / a) #

이제 우리는 단계별로 # 3 ^ "rd"# 복소수 뿌리 # a + bi #. 찾는 방법 # n ^ "th"# 뿌리는 비슷합니다.

주어진 # a + bi = Re ^ (itheta) # 우리는 모든 복소수를 찾고있다. #지# 그렇게

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

같이 #지# 복소수이다. 존재한다. # R_0 # 과 # theta_0 # 그렇게

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

그때

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

이것으로 우리는 즉시 # R_0 = R ^ (1/3) #. 또한 우리는 지수의 지수를 #이자형#, 그러나 사인과 코사인은 마침표가있는 # 2pi #, 그 다음 원래의 신분에서, # e ^ (itheta) # 될 것입니다. 그럼 우리는

# 3itheta_0 = i (세타 + 2pik) # 어디에 #Z in ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # 어디에 #Z in ZZ #

그러나 우리가 계속 추가하는 것처럼 # 2pi # 우리는 같은 값으로 끝날 것이고, 우리는 제한을 더함으로써 여분의 값을 무시할 수있다. # theta_0 in 0, 2pi) #, 그건, #k in {0, 1, 2} #

모든 것을한데 모으고 솔루션 세트를 얻습니다.

(1/3) e ^ (i ((세타 +2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (θ + 4π) / 3)} #

우리는 이것을 다시 # a + bi # 신원 정보를 사용하여 원하는 경우 양식하십시오.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

위의 문제를 당면의 문제에 적용:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

위의 프로세스를 사용하면 # 3 ^ "rd"# 뿌리의 #나는#:

(3π) / 2)에서 e = (i × i / 2) = i × (1/3) } #

적용 # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # 우리는

{sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} # 1에서 #

마지막으로이 값을 다음과 같이 대체합니다. #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

2, (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #z {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2)

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i}