이등변 삼각형의 두 모서리는 (8, 1)과 (1,7)에 있습니다. 삼각형의 면적이 15 인 경우, 삼각형의 변의 길이는 얼마입니까?

대답:

두 가지 가능성: (I) #sqrt (85), sqrt (2165/68), sqrt (2165/68) ~ = 9.220,5.643,5.643 # 또는 (II) #sqrt (170-10sqrt (253)), sqrt (85), sqrt (85) ~ = 3.308,9.220,9.220 #

설명:

주어진면의 길이는

# s = sqrt ((1-8) ^ 2 + (7-1) ^ 2) = sqrt (49 + 36) = sqrt (85) ~ = 9.220 #

삼각형 영역의 공식으로부터:

# S = (b * h) / 2 # => # 15 = (sqrt (85) * h) / 2 # => # h = 30 / sqrt (85) ~ = 3.254 #

이 그림은 이등변 삼각형이므로 우리는 가질 수 있습니다. 사례 1, 여기서베이스는 아래의 그림 (a)에 의해 그림 된 단변이다.

또는 우리는 가질 수 있습니다. 사례 2 여기서베이스는도 1 및도 2에 의해 도시 된 동일한 측면 중 하나이다. (b) 및 (c)

이 문제의 경우 사례 1은 항상 다음과 같은 이유로 적용됩니다.

#tan (알파 / 2) = (a / 2) / h # => # h = (1/2) a / tan (α / 2) #

그러나 사례 2가 적용될 수있는 조건이 있습니다.

#sin (베타) = h / b # => # h = bsin beta #

또는 # h = bsin 감마 #

최고 가치 #sin beta # 또는 #sin 감마 # ~이다. #1#, # h #, 사례 2에서 #비#.

현재 문제에서 h는 수직 인면보다 작다. 따라서이 문제는 사례 1 외에도, 또한 사례 2 적용됩니다.

솔루션 고려 사례 1 (도 (a)), # a = sqrt (85) #

# b ^ 2 = h ^ 2 + (a / 2) ^ 2 #

# 2 ^ 2 = (30 / sqrt (85)) ^ 2 + (sqrt (85) / 2) ^ 2 #

# b ^ 2 = 900 / 85 + 85 / 4 = 180 / 17 + 85 / 4 = (720 + 1445) / 68 = 2165 / 68 # => # b = sqrt (2165/68) ~ = 5.643 #

솔루션 고려 사례 2 (도 (b)의 형상), # b = sqrt (85) #

# b ^ 2 = m ^ 2 + h ^ 2 #

2 ^ 2-h ^ 2 = (sqrt (85)) ^ 2- (30 / sqrt (85)) ^ 2 = 85-900 / 85 = 85-180 / 17 = (1445-180) / 17 # => # m = sqrt (1265/17) #

# m + n = b # => # n = b-m # => # n = sqrt (85) -sqrt (1265/17) #

# 2 ^ 2 = h ^ 2 + n ^ 2 = (30 / sqrt (85)) ^ 2 + (sqrt (85) -sqrt (1265/17)) ^ 2 #

# a ^ 2 = 900 / 85 + 85 + 1265 / 17-2sqrt ((85 * 1265) / 17) #

# a ^ 2 = 180 / 17 + 85 + 1265 / 17-2 * sqrt (5 * 1265) #

# a ^ 2 = 1445 / 17 + 85-2 * 5sqrt (253) #

# a ^ 2 = 85 + 85-10sqrt (253) #

# a = sqrt (170-10sqrt (253)) ~ = 3.308 #