Int tan ^ 4x dx의 적분은 무엇입니까?

대답:

# (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

설명:

trig antiderivatives를 해결하는 것은 일반적으로 피타고라스 신분을 적용하기 위해 적분을 끊는 것과 #유#-치환. 바로 여기에서 우리가 할 일입니다.

다시 쓰기로 시작하십시오. # inttan ^ 4xdx # 같이 # inttan ^ 2xtan ^ 2xdx #. 이제 우리는 피타고라스의 정체성을 적용 할 수 있습니다. # tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, 또는 # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #:

# inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) tan ^ 2xdx #

배포 # tan ^ 2x #:

#color (흰색) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx #

합계 규칙 적용:

#color (흰색) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx #

우리는 이러한 적분을 하나씩 평가할 것입니다.

첫 번째 적분

이 방법은 a를 사용하여 해결됩니다. #유#-치환:

방해 # u = tanx #

# (du) / dx = sec ^ 2x #

# du = sec ^ 2xdx #

대체 적용, #color (흰색) (XX) intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = intu ^ 2du #

#color (흰색) (XX) = u ^ 3 / 3 + C #

때문에 # u = tanx #, # intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = (tan ^ 3x) / 3 + C #

두 번째 적분

우리는 무엇을 실제로 알지 못하기 때문에 # inttan ^ 2xdx # 그냥보고있는 것입니다. # tan ^ 2 = sec ^ 2x-1 # 신원 다시:

# inttan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) dx #

합계 규칙을 사용하면 적분은 다음으로 내려갑니다.

# intsec ^ 2xdx-int1dx #

이들 중 첫 번째는 # intsec ^ 2xdx #, 그냥 # tanx + C #. 두 번째 것, 소위 "완벽한 통합"은 단순히 # x + C #. 모두 정리하면 다음과 같이 말할 수 있습니다.

# inttan ^ 2xdx = tanx + C-x + C #

때문에 # C + C # 그냥 임의의 다른 상수 일 때, 그것을 일반적인 상수로 결합 할 수 있습니다. #기음#:

# inttan ^ 2xdx = tanx-x + C #

두 결과를 결합하여, 우리는:

3-tanx + x + C # - (tanx-x +

다시, 왜냐하면 # C + C # 상수 일 때, 우리는 그것들을 하나로 합칠 수있다. #기음#.