삼각형의 두 모서리는 (3π) / 8과 pi / 8의 각도를가집니다. 삼각형의 한면의 길이가 3 인 경우 삼각형의 가능한 가장 긴 둘레는 무엇입니까?

첫째, 두 개의 각도가 # alpha = pi / 8 # 과 # 베타 = (3pi) / 8 #, 삼각형의 내각의 합은 항상 # 파이 # 세 번째 각도는: # γ = pi-pi / 8- (3π) / 8 = pi / 2 #그래서 이것은 직각 삼각형입니다.

둘레를 최대화하려면 알려진면이 더 짧은 카테 탈스 여야하므로 가장 작은 각도와 반대 방향이됩니다. # 알파 #.

그러면 삼각형의 빗변이 다음과 같이됩니다.

# c = a / sinα = 3 / sin (pi / 8) #

어디에 (1 / sqrt (2) / 2) / 2) = sqrt (1-cos (pi / 4)) / 2) = sqrt

# c = (3sqrt (2)) / sqrt (1-sqrt (2) / 2) #

다른 cathetus는 다음과 같습니다:

#b = a / tan (pi / 8) #

어디에 #tan (pi / 8) = sqrt ((1- sqrt (2) / 2) / (1 + sqrt (2) / 2)) #

# b = 3sqrt ((1 + sqrt (2) / 2) / (1-sqrt (2) / 2)) #

마지막으로:

(1 + sqrt (2) / 2) / (1-sqrt (2) / 2) + 3sqrt (1 + sqrt (2) / 2))) #