삼각형의 두 모서리는 (3π) / 4와 pi / 6의 각도를가집니다. 삼각형의 한면의 길이가 9 인 경우 삼각형의 가능한 가장 긴 둘레는 무엇입니까?

대답:

가능한 가장 긴 둘레 # (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

설명:

주어진 두 각도를 사용하면 삼각형의 세 각도를 모두 합한 개념을 사용하여 세 번째 각도를 찾을 수 있습니다. # 180 ^ @ 또는 pi #:

# (3pi) / 4 + pi / 6 + x = pi #

#x = pi - (3pi) / 4 - pi / 6 #

#x = 파이 - (11pi) / 12 #

#x = 파이 / 12 #

따라서, 제 3 각도는 # 파이 / 12 #

이제

# / _A = (3pi) / 4, / _B = pi / 6 및 / _C = pi / 12 #

사인 규칙을 사용하면, # (Sin / _A) / a = (Sin / _B) / b = (죄 / _C) / c #

여기서, a, b 및 c는 서로 반대편의 길이 # / _ A, / _B 및 / _ C # 각기.

위의 방정식 세트를 사용하면 다음과 같이됩니다.

# a = a, b = (Sin / _B) / (Sin / _A) * a, c = (Sin / _C) / (Sin / _A) * a #

(Sin (pi / 12)) / (Sin ((3pi) / 4)) * a, c =)*에이#

#rArr a = a, b = a / (sqrt2), c = (a * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

자, 삼각형의 가능한 가장 긴 주변을 찾으려면

#P = a + b + c #

가정하면, #a = 9 #, 우리는

a = 9, b = 9 / sqrt2 및 c = (9 * (sqrt (3) -1)) / 2 #

#rArrP = 9 + 9 / (sqrt2) + (9 * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

# 또는 P = (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / 2 #

# 또는 P ~~ 18.66 #

가정하면, #b = 9 #, 우리는

# a = 9sqrt2, b = 9 및 c = (9 * (sqrt (3) -1)) / sqrt2 #

#rArrP = 9sqrt2 + 9 + (9 * (sqrt (3) - 1)) / sqrt2 #

# 또는 P = (9 (2 + sqrt 2 + sqrt 6)) / 2 #

# 또는 P ~~ 26.39 #

가정하면, #c = 9 #, 우리는

# a = 18 / (sqrt3-1), b = (9sqrt2) / (sqrt3-1) 및 c = 9 #

#rArrP = 18 / (sqrt3-1) + (9sqrt2) / (sqrt3-1) + 9 #

# 또는 P = (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

# 또는 P ~~ 50.98 #

따라서 주어진 삼각형의 가능한 가장 긴 둘레는 # (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #