기하학적 계열의 r ( "th") 항은 (2r + 1) cdot 2 ^ r이다. 시리즈의 첫 번째 n 항의 합은 무엇입니까?

대답:

# (4n-2) * 2 ^ n + 3 #

설명:

#S = sum_ {r = 0} ^ n 2r * 2 ^ r + sum_ {r = 0} ^ n 2 ^ r #

(r + 1) + (1 - 2 ^ {n + 1}) / (1 - 2) #

(1 - 2) + … + a_ {0n} (1 - 2 ^ {n- (n-1)}) / (1- 2) + 2 ^ {n + 1} - 1 #

#1*2^2 + 1*2^3 + 1*2^4#

#+ 1 * 2^3 + 1 * 2^4#

#+ 1 * 2^4#

2 ^ (n-i) -1) + 2 ^ {n + 1} - 1 #

(2 ^ n-2 ^ i) + 2 ^ {n + 1} - 1 #

(2 ^ n-1) + 2 ^ {n + 1} - 1 #

#S = (4n-2) * 2 ^ n + 3 #

확인해 보겠습니다.

#S = 1 * 2 ^ 0 + 3 * 2 ^ 1 + 5 * 2 ^ 2 + 7 * 2 ^ 3 +

#S = 1 + 6 + 20 + 56 + cdots #

#S (0) = 1 = -2 + 3 #

#S (1) = 7 = 2 * 2 + 3 #

#S (2) = 27 = 6 * 2 ^ 2 + 3 #

과 #S (3) = 83 = 10 * 2 ^ 3 + 3 #

대답:

# (4n-2) 2 ^ n + 2 또는 (2n-1) 2 ^ (n + 1) + 2 #

설명:

방해 # S_n # 나타내는 첫 번째 합 #엔# 조건 순서

# (2r + 1) 2 ^ r #.

그때, # S_n = sum_ (r = 1) ^ (r = n) (2r + 1) 2 ^ r #,

S_n = 3 * 2 ^ 1 + 5 * 2 ^ 2 + … + (2n-1) * 2 ^ (n-1) + (2n + 1) * 2 ^ n #.

곱하기 으로 #2#, 우리는 얻는다, # 2S_n = 3 * 2 ^ 2 + 5 * 2 ^ 3 + … + (2n-1) * 2 ^ n + (2n + 1) * 2 ^ (n + 1) #.

(2n-1) - (2n + 1)} 2 ^ n + (2n + 1) 2 ^ (n + 1) 색 (적색) (- 3 * 2 ^ 1) #.

S_n = 색상 (적색) (- 2 * 2 ^ 1) -2 * 2 ^ 2-2 * 2 ^ 3-2 * 2 ^ n + (2n + 1) 2 ^ (n +) (- 1 * 2 ^ 1), #

2 ^ 2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 + … + 2 ^ n + (2n + 1) 색 (청색) (2 ^ (n + 1)) - 2 #,

# 2 - {2 (2 ^ n-1)} / (2-1) + (2n + 1), # = - 4 * 2 ^ n + 4 + (4n + 2) 2 ^ n-2 #.

# = 2 ^ n {-4+ (4n + 2)} + 4-2 #.

S_n = (2n-1) 2 ^ (n + 1) + 2 # (n-2)