P가 소수 일 때 p12 ^ (p-1)의 나머지는 무엇입니까?

대답:

나머지는 다음과 같습니다. #0# 언제 #피# 다음 중 하나입니다 #2# 또는 #3#, 그리고 그것은 #1# 다른 모든 소수의 경우.

설명:

우선이 문제는 다음의 가치를 찾아야 만한다고 다시 말할 수 있습니다. # 12 ^ (p-1) mod p # 어디에 #피# 소수입니다.

이 문제를 해결하려면 오일러의 정리를 알아야합니다. 오일러의 정리에 따르면 # a ^ { varphi (n)} - = 1 mod n # 모든 정수 #에이# 과 #엔# (그들은 어떤 요소도 공유하지 않습니다). 너는 무엇을 궁금해할지 모른다. # varphi (n) # 입니다. 이것은 실제로 totient 함수로 알려진 함수입니다. 정수의 수와 같도록 정의됩니다. # <= n # 그 정수들은 #엔#. 번호는 #1# 모든 정수들에 대해 거짓으로 간주됩니다.

오일러의 정리를 알았으므로이 문제를 해결할 수 있습니다.

다른 소수 이외에 #2# 과 #3# 양면성이있다. #12#. 나중에 2와 3을 제쳐두고 나머지 소수점에 집중합시다. 이들 다른 소수는 12에 비례하기 때문에 오일러의 정리를 적용 할 수 있습니다:

# 12 ^ { varphi (p)} - = 1 mod p #

이후 #피# 소수이며, # varphi (p) = p-1 #. 소수가 아닌 모든 숫자가 그 숫자와 상충되기 때문에 이것은 의미가 있습니다.

그러므로 우리는 이제 # 12 ^ {p-1} - = 1 mod p #

위의 표현식은 다음과 같이 변환 할 수 있습니다. # 12 ^ {p-1} # 로 나눈 #피# 남은 것은 #1#.

이제 우리는 #2# 과 #3#, 이전에 말했듯이, 둘 다 #0#.

따라서 우리는 모두 # 12 ^ {p-1} # 로 나눈 #피# 어디에 #피# 소수는 나머지가있다. #0# p가 #2# 또는 #3# 나머지는 #1# 그렇지 않으면.