선형 / 추상 대수의 관점에서 아벨 (Abelian) 그룹은 무엇입니까?

대답:

아벨 (Abelian) 그룹은 그룹 연산의 추가 속성이 교환 가능 (commutative) 인 그룹입니다.

설명:

에이 그룹 # <G, •> # 세트 야. #지# 이진 연산과 함께 # •: GxxG-> G # 다음 조건을 충족합니다.

1. #지# ~이다. 닫은 아래에 #•#.

   어떠한 것도 # a, binG #, 우리는 # a • b in G #

2. #•# ~이다. 연관성있는.

   어떠한 것도 # a, b, cinG #, 우리는 # (a • b) • (c) = a • (b • c) #

3. #지# ~을 포함한다. 신원 요소

   존재 # einG # 모든 사람에게 # ainG #, # a • e = e • a = a #

4. 각 요소 #지# ~을 가지고있다. 역 …에서 #지#

   모든 # ainG # 존재 #a ^ (- 1) inG # 그렇게 # a • a ^ (- 1) = a ^ (- 1) • a = e #

한 그룹이 아벨 사람 또한 그 속성이있는 경우 #•# 교환 가능하다. # a, binG #, 우리는 # a • b = b • a #.

그룹 # <ZZ, +> # (표준 추가가있는 정수)는 위의 조건 중 다섯 가지를 모두 충족하므로 아벨 (Abelian) 그룹입니다.

그룹 # GL_2 (RR) # (역전 집합 # 2 "x"2 # 행렬 곱셈과 함께 실제 원소를 갖는 행렬)은 비 아벨인데, 처음 4 가지 조건을 만족 시키지만, 역행렬 간의 행렬 곱셈은 반드시 교환 가능하지는 않다. 예:

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

그러나

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#