대답:
Sudip Sinha가 지적한대로 # -1 + sqrt3i # 0이 아닙니다. (나는 그것을 무시했다.) 다른 0은 # 1-sqrt3 i # 과 #1#.
설명:
모든 계수는 실수이므로 모든 상수 0은 공액 쌍으로 발생해야합니다.
따라서, # 1-sqrt3 i # 0입니다.
만약 #기음# 그 다음에 0이된다. # z-c # 요인이기 때문에 우리는 번식 할 수 있습니다.
# (z- (1 + sqrt3i)) (z- (1-sqrt3i)) # 얻을 # z ^ 2-2z + 4 #
그리고 나눕니다. #P (z) # 저 2 차로.
그러나 가능한 합리적인 0을 고려하는 것이 더 빠릅니다. #피# 먼저. 또는 계수를 추가하여 #1# 또한 0입니다.
대답:
#1# 과 # 1 - sqrt3 i #
설명:
질문에 오류가 있습니다. 루트가 있어야합니다. # 1 + sqrt3 i #. 표현식에 값을 입력하여이를 확인할 수 있습니다. 루트 인 경우 표현식은 0으로 평가됩니다.
표현식은 모든 실제 계수를 가지므로 Complex Conjugate Roots Theorem (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem)에서 다른 복합 루트는 # 1 - sqrt3 i #, 분명히 세 번째 루트 (say #에이#)는 복합 공액 (complex conjugate)을 가질 수 없기 때문에 현실이어야한다. 그렇지 않으면 3 차 방정식에 대해 불가능한 4 개의 루 트가있게됩니다.
노트
# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3i)) #
# = ((z-1) + sqrt3 i) ((z-1) - sqrt3 i) #
# = ((z-1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (이후 # (z + a) (z-a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)
# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #
# = z ^ 2 - 2z + 4 #
우리는 표현에서이 요소를 얻으려고 노력할 것입니다.
우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #
# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #
# = (z-1) (z ^ 2 - 2z + 4) #
(z - (1 + sqrt3 i)) # = (z-1)
대답:
소개로, 나는 루트가 있어야한다고 생각해. #color (파란색) (1 + sqrt3) # 하지 #color (빨간색) (- 1 + sqrt3) #
그 근거로 내 대답은:
#z in {1, ""1 + sqrt3 ","1-sqrt3} #
설명:
아이디어를 사용하여 복합체 및 기타 멋진 트릭.
#P (z) # 학위의 다항식이다. #3#. 이것은 단지 그것이 있어야 함을 의미한다. #3# 뿌리.
복잡한 뿌리에 대한 한 가지 재미있는 사실은 절대로 혼자서 발생하지 않는다는 것입니다. 공액 쌍.
그래서 만약 # 1 + isqrt3 # 하나의 근원이며, 그 결합체는 다음과 같습니다. # 1-isqrt3 # 가장 확실하게 뿌리입니다!
그리고 루트가 하나 남았으므로 루트라고 부를 수 있습니다. # z = a #.
복소수는 항상 쌍으로 발생하기 때문에 복소수가 아닙니다.
그리고 이것이 이후의 마지막이기 때문에 #3# 뿌리, 첫 번째 이후에는 다른 쌍이있을 수 없습니다!
결국에는 #P (z) # 쉽게 발견되었다. # z- (1 + isqrt3) ","z- (1-isqrt3) "및"(z-a) #
주의: 루트와 요소의 차이점은 다음과 같습니다.
- 루트가 될 수 있습니다. # z = 1 + i #
그러나 해당 요소는 # z- (1 + i) #
두 번째 트릭은 #P (z) # 우리는 이렇게해야합니다:
# z (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1- isqrt3) (z-a) #
그런 다음 중괄호를 확장하고, 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #
# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #
# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #
z = 2, 3, 4, 5, 6, 7,
다음으로, 이것을 원래의 다항식과 동일하게 만든다. #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #
z = 3 + z ^ 2 (-a + 2) + z (-2a + 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #
2 개의 다항식이 동일하기 때문에, 우리는 # z ^ 3 #, # z ^ 2 #, # z ^ 1 #과 # z ^ 0 #(상수 항)
사실, 방정식 하나를 선택하고이를 해결하기 만하면됩니다. #에이#
상수항을 동일시하면, # => - 4a = -4 #
# => a = 1 #
그러므로 마지막 근원은이다. #color (파란색) (z = 1) #
