F (x) = xsin (1 / x)의 점근선과 구멍은 무엇입니까?

대답:

아래를 참조하십시오.

설명:

음, 분명히 구멍이 있습니다. # x = 0 #, 분열 이후 #0# 불가능합니다.

함수를 그래프로 나타낼 수 있습니다.

그래프 {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}}

다른 점근선이나 구멍이 없습니다.

대답:

#f (x) # 에는 구멍 (제거 가능한 불연속)이 있습니다. # x = 0 #.

또한 수평 적으로 점근선이 있습니다. # y = 1 #.

그것은 수직 또는 비스듬한 점근선이 없다.

설명:

주어진:

#f (x) = xsin (1 / x) #

나는 몇 가지 속성을 사용할 것이다. #sin (t) #, 즉:

• #abs (sin t) <= 1 ""# 모든 실제 가치 #티#.

• #lim_ (t-> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) ""# 의 모든 값에 대해 #티#.

그 첫 번째 메모 #f (x) # 짝수 함수입니다.

(1 / x) = (x) # (x) = (-x) = (-x)

우리는 찾는다:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

그래서:

(x -> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+)

이것은 #0#, 그렇다 #lim_ (x-> 0+) xsin (1 / x) #

또한, 이후 #f (x) # 짝수이다:

(x -> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

유의 사항 #f (0) # 그것은 다음에 의한 나누기를 포함하기 때문에 정의되지 않습니다. #0#, 왼쪽과 오른쪽 한계가 모두 존재하고 # x = 0 #, 거기에 구멍 (제거 가능한 불연속)이 있습니다.

우리는 또한:

(1 - x) = lim_ (t -> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

비슷하게:

(1 - x) = lim_ (t -> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

그래서 #f (x) # 수평 점근선이있다. # y = 1 #

그래프 {x sin (1 / x) -2.5, 2.5, -1.25, 1.25}