언제 헤론의 공식을 사용하여 지역을 찾으십니까?

삼각형의 모든면의 길이를 알 때마다 사용할 수 있습니다.

이것이 도움이되기를 바랍니다.

대답:

헤론의 포뮬라는 거의 항상 잘못된 공식입니다. 영역이있는 삼각형에 대해 아르키메데스의 정리를 시도하십시오. #에이# 및 측면 #알파벳#:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (a + b + c) (a-b + c)

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # 어디에 # s = 1 / 2 (a + b + c) #

이 마지막은 얇게 가려진 헤론입니다.

설명:

알렉산드리아의 영웅은 1 세기 광고에 썼다. 우리가 현대의 동등 물이 훨씬 더 좋을 때 왜 그의 결과로 학생들을 계속 고문하는지, 나는 잘 모른다.

이 지역에 대한 헤론의 공식 #에이# 측면이있는 삼각형 #알파벳# ~이다.

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # 어디에 # s = 1 / 2 (a + b + c) # 반자계입니다.

이 수식이 굉장하다는 데는 의심의 여지가 없습니다. 그러나 분수 때문에, 그리고 우리가 좌표에서 시작하면 4 개의 제곱근 때문에 사용하는 것은 어색합니다.

수학을 해봅시다. 우리는 사각형을 제거합니다. #에스# 대부분 숨기는 역할을한다. #16# 중요한 인수 분해. 먼저 직접 해보기를 원할 수도 있습니다.

1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (a + b + c) -a) b + c) -c) #

(1/2 (a + b + c)) (1/2 (a + b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c) (a-b + c)

이미 헤론의 형태보다 훨씬 좋습니다. 분수를 끝까지 저장하고 반감계의 의미에 대해 더 이상 궁금하지 않습니다.

퇴보 한 사건이 말하고 있습니다. 마이너스 기호가있는 요소 중 하나가 0 일 때, 그 때 두면이 정확히 다른면과 합쳐집니다. 그것들은 3 개의 동일 선상의 점인 축퇴 삼각형 사이의 거리이며, 우리는 제로 영역을 얻습니다. 말이된다.

그만큼 # a + b + c # 요인은 흥미 롭습니다. 이것이 우리에게 말해주는 것은이 포뮬러가 모든 긍정적 인 것 대신 변위, 부호있는 길이를 사용하면 여전히 작동한다는 것입니다.

공식은 주어진 좌표를 사용하는 것은 여전히 어색합니다. 그것을 배가합시다. 당신은 너 자신 그것을 시도하고 싶을지도 모르다;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c) (a-b + c)

a + b + c + b + c + b + c + b + c + b + c) ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2 - c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2 - c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

그 형태는 길이의 제곱에만 의존합니다. 분명히 완전히 대칭입니다. 지금 헤론을 뛰어 넘어서 제곱 길이 합리적입니다. 제곱 된 영역도 마찬가지입니다.

그러나 우리가주의한다면 더 잘할 수 있습니다.

(a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

빼기,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

그것은 가장 예쁜 형태입니다.

일반적으로 가장 비대칭 인 모양이 있습니다. 우리는주의한다.

(a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) 2) #

이것을에 추가

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

그것이 가장 유용한 형태입니다. 양면을 바꿔 쓰는 데는 실제로 세 가지 방법이 있습니다.

집합 적으로 이들은 NJ Wildberger의 Rational Trigonometry에서 Archimedes 'Theorem이라고 불린다.

2D 좌표가 주어지면 종종 Shoelace 수식이이 지역으로가는 가장 빠른 경로이지만 다른 포스트의 경우이를 저장합니다.