주석 [1, ln2]의 r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t)의 아크 길이는 얼마입니까?

대답:

아크 길이 #~~ 2.42533 # (5dp)

호 길이는 하한 때문에 음수입니다. #1# 상한선보다 큼 # ln2 #

설명:

다음에 의해 주어진 매개 변수식 벡터 함수가 있습니다.

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

아크 길이를 계산하기 위해 벡터 미분을 요구할 것입니다.이 미분은 제품 규칙을 사용하여 계산할 수 있습니다:

(t ^ 2), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t ^ (t ^ 2)) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

(t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> # 2t ^ 2e ^ (t ^ 2)

그런 다음 미분 벡터의 크기를 계산합니다.

# | bb ul r '(t) | = sqrt (2t ^ 2e ^ (t ^ 2) ^ e ^ (t ^ 2) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t) ^ 2 +) #

(2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) ^ 2) ^ 2 + e ^ (2 ^ 2 ^ 2) + 4 ^ (2 ^ 2 ^ t ^ 4) #

그러면 다음을 사용하여 호 길이를 계산할 수 있습니다.

# L = int_ (1) ^ (ln2) | bb ul r '(t) | dt #

(2t) t = 4 + 1 / t ^ 4 + 4e ^ (2t) t ^ 3 + 4e ^ (2t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 ^ 2) + 4 ^ (2 ^ 2 ^ t ^ 4) dt #

분석 적 기법을 사용하여이 적분을 계산할 가능성은 낮기 때문에 수치 방법 대신 근사값을 구합니다.

# L ~~ -2.42533 # (5dp)

호 길이는 하한 때문에 음수입니다. #1# 상한선보다 큼 # ln2 #