다음 중 진위 또는 거짓 진술은 답을 정당화하십시오. (i) R2는 무한히 많은 0이 아닌 적절한 벡터 부분 공간을 갖는다. (ii) 균질 선형 방정식의 모든 시스템은 0이 아닌 해를 가진다.

대답:

# #

# "(i) True."#

# "(ii) 거짓."#

설명:

# #

# "증명." #

# "(i) 다음과 같은 부분 공간 집합을 구성 할 수 있습니다:"#

RR ^ 2의 qquad quad V_r = (x, rx) 에 RR의 " forall "을 추가합니다. #

# "기하학 적으로," V_r "는" RR ^ 2 "의 원점을 지나는 선" r. "#

# "2) 우리는 이들 부분 공간이 주장 (i)을 정당화하는지 점검 할 것입니다." #

# "3) 분명히:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad V_r 하위 RR ^ 2. #

# "4)" qquad qquad V_r "가" RR ^ 2 "의 적절한 부분 공간인지 확인하십시오. #

# "Let:" qquad u, v in V_r, alpha, beta RR. qquad qquad qquad quad "다음을 확인하십시오." quad alpha u + beta v V_r. #

# u, v r rArr u = (x_1, r x_1), v = (x_2, rx_2); "일부는" x_1, x_2 는 RR #

# qquad qquad qquad:. qquad quad alpha u + beta v = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, rx_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, rx_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1, alpha r x_1) + (beta x_2, beta rx_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, alpha r x_1 + beta r x_2) #

(alpha x_1 + beta x_2, r (alpha x_1 + beta x_2)) # qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad =

# qquad qquad qquad qquad qquad quad quad = (x_3, rx_3) V_r; qquad "와" x_3 = alpha x_1 + beta x_2. #

V_r, alpha, beta V_r의 rqur quad alpha + beta 에있는 qquad qquad qquadu. #

# "따라서:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r "는" RR ^ 2 "의 부분 공간입니다. #

# "" V_r "이 0이 아닌 것을 확인하려면 다음을주의하십시오:"#

V_r, "및" (1, r) ne (0, 0) # # qquad qquad qquad qquad qquad qquad (1, r)

# "V r에" V_r "이 적절하다는 것을 알기 위해" "는" (1, r + 1)! "

V_r rArr에서 # (1, r + 1) (" V_r"구성에 의해) " quad r cdot 1 = r + 1 #

# rqur r = r + 1, "명백하게 불가능합니다." #

# "따라서:" qquad qquad qquad V_r "은" RR ^ 2 "의 0이 아닌 적절한 부분 공간입니다. qquad qquad qquad (1) #

# "5) 무한히 많은 그러한 부분 공간" V_r이 있음을 보여줍니다. #

# "Let:"RR의 qquad qquad r, s. qquad qquad qquad quad "다음과 같이 표시됩니다:" qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "정의에 의해:" quad (1, r) = (1, r cdot 1) in V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) V_s. #

# "분명히:" qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr (1, r) ne (1, s). #

# "따라서:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "RR"의 "각 "은 "고유 한 부분 영역을 생성합니다" V_r. #

# "이것은 (1)과 함께 다음과 같이 나타냅니다:"#

# "하위 공간의 패밀리:"RR의 r, "무한한 가족"#

# "는" RR ^ 2 "의 0이 아닌 적절한 부분 공간입니다. qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square #

# "(ii) 이것은 실제로 쉽습니다. 시스템이 정사각형이고"# "

# "역행렬에있는 시스템의 계수 행렬,"#

# "제로 해결책". #

# "다음과 같이 가정하십시오." qquad qquad quad A "는 정사각형의 역행렬입니다." #

# "균질 시스템을 생각해보십시오:"#

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A x = 0. #

# "따라서" A "는 반전 가능합니다:"#

qquad qquad qquad qquad qquad qquad A ^ {- 1} cdot A x = A ^ {- 1} cdot 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad I x = 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad x = 0. #

# "따라서 균질 시스템" A x = 0, "에는 #

# "0이 아닌 해결책". qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square #