1 / (1 + x ^ 3) dx의 통합?

대답:

1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

설명:

분모를 인수 분해하여 시작하십시오.

# 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2 - x + 1) #

이제 부분 분수를 할 수 있습니다.

1 / (1 + x ^ 3) = 1 / (x + 2) +1) #

우리는 찾을 수있어 #에이# 은폐 방법 사용:

# A = 1 / ((text (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1 / 3 #

다음으로 우리는 양변에 LHS 분모를 곱할 수 있습니다.

# 1 = 1 / 3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (x + 1) #

# 1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1 / 3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C #

# 1 = (1 / 3 + B) x ^ 2 + (B + C-1 / 3) x + (C + 1 / 3) #

이것은 다음 방정식을 제공합니다.

# 1 / 3 + B = 0 B = -1 / 3 #

# C + 1 / 3 = 1-> C = 2 / 3 #

즉, 원래의 적분을 다시 쓸 수 있습니다.

# 1 (1 + x ^ 3) dx = 1 / 3int 1 / (x + 1) - (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx #

첫 번째 적분은 명시 적 u- 대입을 사용하여 수행 할 수 있지만 그 대답은 #ln | x + 1 | #:

# 1 / 3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx) #

나머지 정수를 두 개로 나눌 수 있습니다.

(x ^ 2-x + 1) dx = 1 / 2int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) dx =

# 1 / 2 (int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx-int 3 / (x ^ 2-x + 1) dx) #

곱셈과 나눗셈을 통한 속임수의 이유는 #2# 왼손 분모가 u- 치환을 더 쉽게 사용하도록 만드는 것입니다.

나는 왼쪽의 적분 Integral 1을 오른쪽 integral Integral 2라고 부를 것이다.

정수 1

#int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx #

우리가 대체를 위해이 적분을 이미 준비했기 때문에, 우리가해야 할 일은 대용 # u = x ^ 2-x + 1 #, 그 파생물은 # 2x-1 #, 그래서 우리는 그것으로 나누어서 #유#:

(2x-1) * u) du = int 1 / u du = ln | u | + C = ln | x ^ 2-x + 1 | + C #

통합 2

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx #

우리는 이것을 다음과 같은 형태로 통합하고자합니다.

(1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

이렇게하려면 분모의 제곱을 완성해야합니다.

# x ^ 2-x + 1 = (x-1 / 2) ^ 2 + k #

# x ^ 2-x + 1 = x ^ 2-x + 1 / 4 + k #

# k = 3 / 4 #

(x-1 / 2) ^ 2 + 3 / 4) dx # 3int 1 / (x ^ 2-x +

우리는 다음과 같은 u 치환을 도입하고자합니다.

# (x-1 / 2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

# x-1 / 2 = sqrt3 / 2u #

# x = sqrt3 / 2u + 1 / 2 #

우리는 파생 상품을 #유# 존중과 통합하다 #유#:

# dx / (du) = sqrt (3) / 2 #

# 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3 / 4) du = 3sqrt3 / 2 * 1 / (3/4) int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

(2x-1) / sqrt3) + C # 2sqrt3tan -1 (u) + C = 2sqrt3tan -1

원래의 적분 완료

Integral 1과 Integral 2에 대한 해답을 알았으므로 이제 최종 답을 얻기 위해 원래의 식으로 다시 연결할 수 있습니다.

# 1 / 3 (ln | x + 1 | -1 / 2ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3)

1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

대답:

# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #

설명:

#int dx / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 2-x + 1) * (x + 1) #

=# 1 / 3int (x ^ 2-x + 1) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #-# 1 / 3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3int dx / (x + 1) #-# 1 / 3int ((x + 1) (x-2)) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=1 / 3ln (x + 1) + C-1 / 3 int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1 / 6 int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1 / 6 int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) * dx #+# 1 / 6 int 3 / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+# 1 / 2 int dx / (x ^ 2-x + 1) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / (4x ^ 2-4x + 4) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / ((2x-1) ^ 2 + 3) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #