제발, 누군가가 문제를 해결하는 데 도움이됩니까?

대답:

변경 시도 # x = tan u #

아래 참조

설명:

우리는 그것을 알고있다. # 1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u #

제안 된 변경 사항에 따라

# dx = sec ^ 2u du #. 적분으로 대체 할 수 있습니다.

(3/2) du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = (1 + x ^ 2) sinu + C #

따라서 변경을 취소합니다.

# u = arctanx # 그리고 마침내 우리는

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

대답:

#color (파란색) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

설명:

이 적분을 푸는 데 삼각 함수 치환을 사용합시다. 그렇게하기 위해 직각 삼각형을 만들 것입니다. #Delta ABC # 다음과 같이 피타고라스의 공식을 사용하여 우리가 현재 적분의 논증에서 볼 수있는 표현을 도출 할 수있는 방식으로 측면을 표시하십시오:

각도 # / _ B = 세타 # 반대편에있다. #엑스# 및 인접한면 #1#. 피타고라스의 공식을 사용하여:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # 결과는 다음과 같습니다.

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # 보여진 바와 같이.

이제 가장 기본적인 세 가지 삼각 함수를 작성해 보겠습니다. # theta #:

# sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# tantheta = x / 1 = x #

이제 우리는이 방정식을 사용하여 적분 인수의 다양한 부분을 삼각법으로 풀 수 있어야합니다. 사용합시다. # tantheta #:

# tantheta = x #

양측의 파생 상품을 가져 가자.

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

로부터 # costheta # 방정식, 우리가 풀 수있는 #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

이 방정식의 양면을 #3# 우리는 얻는다:

# 3 ^ (1 + x ^ 2) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

이제, 우리가 계산 한 것을 삼차원 적분으로 바꾸기위한 문제 적분으로 대체 할 수 있습니다:

세타 = intsec ^ 2 세타 = (세컨더리 2 세타) 세타 = intcancelcolor (적색) (sec ^ 2 세타) / (secthetacancelcolor (red) (sec ^ 2theta)) d 세타 = int1 / secthetad 세타 = int1 / (1 / costheta) d 세타 = intcosthetad 세타 = 신테 타 + C #

이제 우리는 # 신데타 # 우리의 답을 다시 대수적 표현으로 바꿔라. #엑스#:

#color (파란색) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #