G가 순환 그룹이고 G = 48이라고하자. G의 하위 그룹을 모두 어떻게 찾을 수 있습니까?

대답:

하위 그룹은 모두 주기적이며, 순서는 #48#

설명:

순환 그룹의 모든 하위 그룹은 그 자체로 순환적이고 순서는 그룹의 순서의 약수입니다.

이유를보기 위해 # G = <a> # 주문과 함께 순환하다 #엔# 과 #H 하위 G # 하위 그룹입니다.

만약 # a ^ m in H # 과 # a ^ n in H #, 그렇다. # a ^ (pm + qn) # 모든 정수 #p, q #.

그래서 # a ^ k in H # 어디에 #k = GCF (m, n) # 둘 다 # a ^ m # 과 # a ^ n # 에있다 # <a ^ k> #.

특히, # a ^ k in H # 와 #GCF (k, N) = 1 # 그때 #H = <a> = G #.

또한 그렇지 않은 경우 #mn = N # 그때 # <a ^ m> # 의 하위 그룹입니다. #지# 주문과 함께 #엔#.

우리는 추론 할 수 있습니다:

• # H # ~보다 많지 않다. #1# 발전기.
• 의 순서 # H # 요인이다 #엔#.

이 예에서 #N = 48 # 하위 그룹은 다음과 같은 동질성을 갖는다.

# C_1 #, # C_2 #, # C_3 #, # C_4 #, # C_6 #, # C_8 #, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

존재:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #