Z = 1 / 2 (1 + sqrt3i) 일 때 z, z ^ 2, z ^ 3, z ^ 4를 어떻게 찾을 수 있습니까?

대답:

#z = cos (pi / 3) + isin (pi / 3) #

# z ^ 2 = cos (2π / 3) + isin (2π / 3) = 1/2 (-1 + sqrt (3) i) #

# z ^ 3 = cos (3π / 3) + isin (3π / 3) = -1 #

# z ^ 4 = cos (4π / 3) + isin (4π / 3) = -1/2 (1 + sqrt (3) i) #

설명:

가장 쉬운 방법은 De Moivre의 정리를 사용하는 것입니다. 복소수의 경우 #지#

# z = r (costheta + isintheta) #

# z ^ n = r ^ n (cosntheta + isinntheta) #

그래서 우리는 복소수를 극좌표로 변환하려고합니다. 모듈러스 #아르 자형# 복소수의 # a + bi # 에 의해 주어진다

#r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #

#r = sqrt ((1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2) = sqrt (1/4 + 3/4) = 1 #

복소수는 Argand 다이어그램의 첫 번째 사분면에 있으므로 인수는 다음과 같습니다.

#theta = tan ^ (- 1) (b / a) #

(sqrt (3) / 2) / (1/2)) = tan ^ (-1) (sqrt (3)) = pi / 3 #

#z = cos (pi / 3) + isin (pi / 3) #

# z ^ 2 = cos (2π / 3) + isin (2π / 3) = 1/2 (-1 + sqrt (3) i) #

# z ^ 3 = cos (3π / 3) + isin (3π / 3) = -1 #

# z ^ 4 = cos (4π / 3) + isin (4π / 3) = -1/2 (1 + sqrt (3) i) #