(ln (xe ^ x)) / x의 적분은 얼마입니까?

대답:

# int # #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

설명:

우리는 주어진다:

# int # #ln (xe ^ x) / (x) dx #

사용 #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

사용 #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

사용 #ln (e) = 1 #:

# = int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

분수 나누기 (# x / x = 1 #):

# = int # # (ln (x) / x + 1) dx #

합계를 분산하는 방법:

# = int # #ln (x) / xdx + int dx #

두 번째 적분은 단순히 #x + C #, 어디서 #기음# 임의의 상수입니다. 첫 번째 적분은 우리가 사용합니다. #유#-치환:

방해 #u equiv ln (x) #따라서 #du = 1 / x dx #

사용 #유#-치환:

# = int udu + x + C #

적분 (임의의 상수 #기음# 첫 번째 무한 적분의 임의 상수를 흡수 할 수 있습니다.

# = u ^ 2 / 2 + x + C #

측면에서 다시 대체 #엑스#:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

대답:

(xe / x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

설명:

다음과 같은 로그 ID를 사용하여 시작합니다.

#ln (ab) = ln (a) + ln (b) #

이것을 적분에 적용하면 다음을 얻습니다.

# int (ln (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x) / x dx =

(x) / x dx + x # / int (x) / x + x / dx =

잔여 적분을 계산하기 위해 부품별로 적분을 사용합니다.

(x) g (x) dx = f (x) g (x)

나는 내버려 둘 것이다. #f (x) = ln (x) # 과 # g '(x) = 1 / x #. 그런 다음이를 계산할 수 있습니다.

#f '(x) = 1 / x # 과 # g (x) = ln (x) #

그런 다음 부품 수식으로 통합을 적용하여 다음을 얻을 수 있습니다.

#int ln (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #

우리는 등호의 양면에 정수가 있으므로 다음 방정식과 같이 해결할 수 있습니다.

# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

원래 표현식을 다시 사용하여 최종 답을 얻습니다.

(xe / x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #