F (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4)의 영역과 범위는 무엇입니까?

대답:

도메인: 전체 실제 라인

범위: #-0.0757,0.826#

설명:

이 질문은 두 가지 방법 중 하나로 해석 될 수 있습니다. 우리는 실제 라인만을 다룰 것으로 예상됩니다. # RR #, 또는 복잡한 평면의 나머지 부분과 함께 # CC #. 사용 #엑스# 변수로서 우리가 실제 라인만을 다루고 있음을 의미하지만 두 가지 경우 사이에는 흥미로운 차이가 있습니다.

도메인 #에프# 함수가 무한대까지 날아 가게하는 모든 점을 빼고 숫자 집합 전체로 간주합니다. 이것은 분모 # x ^ 2 + 4 = 0 #, 즉 # x ^ 2 = -4 #. 이 방정식은 실제 솔루션을 가지고 있지 않으므로 실제 회선을 작업하는 경우 도메인은 전체 간격입니다 # (- oo, + oo) #. 분자와 분모의 주요 항을 비교하여 함수의 무한한 한계를 고려한다면 두 무한대에서 모두 0이되는 것을 볼 수 있습니다. 따라서이를 닫으려면 해당 간격에 추가 할 수 있습니다. # - oo, + oo #.

방정식 # x ^ 2 = -4 # 그러나 두 가지 복잡한 해결책이 있지만, #x = + - 2i #. 만약 우리가 전체 복합 평면을 고려한다면, 영역은 전체 평면에서이 두 점을 뺀 것입니다: # CC # # {+ - 2i} #. 우리가 원한다면 실제와 마찬가지로 무한대로 더할 수 있습니다.

범위를 결정하려면 #에프# 도메인에 대해 최대 값과 최소값을 찾아야합니다. 복잡한 평면에서 이들에 대한 아날로그를 결정하는 것은 일반적으로 다른 수학적 도구를 필요로하는 다른 종류의 문제이기 때문에 이제는 실제에 대해서만 이야기 할 것입니다.

몫 규칙을 통해 1 차 미분을 취하십시오:

(x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 + 4) 4) ^ 2 #

함수 #에프# 때 극한 또는 굴절 포인트에 도달 #f '(x) = 0 #, 즉 # -x ^ 2-6x + 4 = 0 #.

우리는 이차 방정식으로 이것을 풀 수 있습니다:

# x = -1 / 2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. 따라서 함수에는 두 가지 점이 있습니다.

우리는이 점의 특성을 #에프#, 다시 우리는 몫 (quotient) 규칙을 통해 취한다.

(x ^ 2 + 4) ^ 2 - (-x ^ 2-6x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 +4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 2) + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)

첫 번째 파생어 계산에서 분자의 두 번째 항은이 두 점에 대해 0이라는 것을 알고 있습니다. 0으로 설정하면 방금 입력 된 숫자를 찾기위한 방정식이됩니다.

그래서, # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

(22bar (+) 6sqrt (13) +4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) + 3) (13) +4) ^ 3 #

# 3 = (bar (+) 6sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)

이 표현의 표시를 결정할 때, 우리는 # 26> 6sqrt (13) #. 비교할 두면을 모두 정사각형으로 만듭니다. #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. 그래서 # 26-6sqrt (13) # 긍정적 인 (그리고 # 26 + 6sqrt (13) # 더욱 더).

따라서 전체적인 표현의 표식은 #bar (+) # 그것의 앞에, 그것은 # x = -3-sqrt (13) # 있다 #f ''(x)> 0 # (따라서 기능 최소값 임) 및 # x = -3 + sqrt (13) # 있다 #f ''(x) <0 # (따라서 함수 최대 값입니다). 함수가 무한대에서 0이되는 경향이 있음을 알았으므로 이제 함수의 모양을 완전히 이해합니다.

이제 범위를 얻으려면 최소 및 최대 점에서 함수의 값을 계산해야합니다 # x = -3 + -sqrt (13) #

리콜 #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #, 그래서

(13) + (4) = (- 3 + - sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (+) 6sqrt (13)) #.

따라서, 실제 회선을 통해 # RR # 함수 #f (x) # 범위 내의 값을 취한다. # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)), 수치로 평가하면 #-0.0757,0.826#,에서 얻은 3 자리 유효 숫자 #엑스# 가치 #-6.61# 과 #0.606# (3 s.f.)

함수 그래프를 온전한 체크로 그려라:

그래프 {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4.816, -0.2, 1}

대답:

도메인: RR #의 #x

범위: -0.075693909, + 0.825693909의 #f (x) color (흰색) ("xxx") # (대략)

설명:

주어진

#color (흰색) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

도메인

그만큼 도메인 모든 값은 #엑스# 어느 것을 위해 #f (x) # 정의됩니다.

다항식으로 나뉘어 다항식으로 나뉘어 표현 된 함수의 경우,이 함수는 #엑스# 여기서 제수 다항식은 0이 아닙니다. 이후 # x ^ 2> = 0 # 의 모든 값에 대해 #엑스#, # x ^ 2 + 4> 0 # 의 모든 값에 대해 #엑스#; 그건 #x! = 0 # 의 모든 값에 대해 #엑스#; 이 함수는 모든 Real (# RR #) 값 #엑스#.

범위

그만큼 범위 개발하기에 조금 더 재미 있습니다.

연속 함수에 한계가있는 경우 해당 제한을 초래하는 점에서 함수의 미분은 0과 같습니다.

이러한 단계 중 일부는 사소한 일이지만, 우리는 파생 상품에 대한 기본 원칙에서이 과정을 진행할 것입니다.

1 파생 상품에 대한 지수 규칙

만약 #f (x) = x ^ n # 그때 # (df (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 파생 상품 합계 규칙

만약 #f (x) = r (x) + s (x) # 그때 (dx) = (dx (x)) / (dx) + (dx (x)) / (dx)

3 파생 상품에 대한 제품 규칙

만약 #f (x) = g (x) * h (x) # 그때 (dx (x)) / (dx) * (dx (x)) / (dx)

4 파생 상품 체인 규칙

만약 #f (x) = p (q (x)) # 그때 (dq (x)) / (dx) # (df (x)) / (dx)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

주어진 함수 #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

우리는 이것이 다음과 같이 쓰여질 수 있음을 주목한다. #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

3 우리는 알고 있습니다.

# color (흰색) ("XXX") 색상 (빨간색) ((df (x)) / (dx)) = 색상 (lime) ((d (x + 3)) / (dx) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) (x + 2)) / (dx)) #

1에 의해 우리는

#color (흰색) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) /

그리고 2

# 색상 (흰색) ("XXX") 색상 (석회) ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = 색상 (석회) (1) #

4에 의해 우리는

(x + 4) ^ (- 1)) / (d (x + 4) ^ (- 1) (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

그리고 1과 2

#color (흰색) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

또는 단순화 된:

#color (흰색) ("XXXXXXXX") = 색상 (자홍색) (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

우리에게주는

#color (흰색) ("XXX") 색상 (빨강) ((df (x)) / (dx)) = 색상 (녹색) 1 * 색상 (파랑) ((x + 4) ^ (- 1)) + 색상 (파란색) ((x + 3)) * 색상 (자홍색) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #

그것은 다음과 같이 단순화 될 수있다.

#xcolor (흰색) ("XXX") 색상 (빨간색) ((df (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

언급했듯이 (다시 돌아 오는 길) 이는 한계 값이 다음과 같은 경우에 발생한다는 것을 의미합니다.

#color (흰색) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#color (흰색) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

그 다음에 2 차 공식을 사용합니다 (이것을 보시오, 소크라테스는 이미이 대답의 길이에 대해 불평하고 있습니다)

언제

#color (흰색) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #

고통을 연장하기보다는, 우리는이 값들을 제한을 얻기 위해 우리의 계산기 (또는 내가하는 일인 스프레드 시트)에 간단하게 꽂을 것이다.

#color (흰색) ("XXX") f (-3 sqrt (13)) ~~ -0.075693909 #

과

#color (흰색) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~~ 0.825693909 #

대답:

범위를 찾는 더 간단한 방법. 도메인은 RR #의 #x. 범위는입니다. #y in -0.076, 0.826 #

설명:

도메인은 RR #의 #x 같이

#AA x in RR #, 분모 # x ^ 2 + 4> 0 #

방해 #y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

교차 곱하기

#=>#, #y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# yx ^ 2-x + 4y-3 = 0 #

이것은 2 차 방정식입니다. #엑스#

판별자가 #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #

따라서, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #

이 불평등의 해법은 다음과 같다.

(12-sqrt (- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16) / (32), ((12) + sqrt 1) * 16)) / (32) #

#y (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32

#y in -0.076, 0.826 #

그래프 {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6.774, 3.09, -1.912, 3.016}