왜 5의 제곱근이 비합리적인 숫자입니까?

대답:

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설명:

모순에 의한 증명의 스케치가 있습니다:

가정 해보자. #sqrt (5) = p / q # 일부 양의 정수의 경우 #피# 과 #큐#.

보편성을 잃지 않고, 우리는 #p, q # 그러한 숫자가 가장 작습니다.

다음 정의에 의해:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

양끝에 # q ^ 2 # 얻으려면:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

그래서 # p ^ 2 # 에 의해 나눌 수있다. #5#.

그런 다음 #5# 소수입니다, #피# 에 의해 나눌 수 있어야한다. #5# 너무.

그래서 #p = 5m # 일부 양의 정수 #엠#.

그래서 우리는:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

양쪽 끝을로 나눈다. #5# 얻으려면:

# q ^ 2 = 5m ^ 2 #

양쪽 끝을로 나눈다. # m ^ 2 # 얻으려면:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m ^ 2 ^

그래서 #sqrt (5) = q / m #

지금 #p> q> m #, 그래서 #q, m # 몫이 작은 더 작은 정수 쌍입니다. #sqrt (5) #우리의 가설과 모순된다.

그래서 우리의 가설은 #sqrt (5) # 에 의해 표현 될 수있다. # p / q # 일부 정수의 경우 #피# 과 #큐# 거짓입니다. 그건, #sqrt (5) # 합리적이지 않다. 그건, #sqrt (5) # 비이성적이다.