세 정수의 제곱의 합은 324입니다. 어떻게 정수를 찾으십니까?

대답:

뚜렷한 양의 정수를 갖는 유일한 솔루션은 다음과 같습니다. #(2, 8, 16)#

완전한 솔루션 세트는 다음과 같습니다.

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

설명:

우리는 사각형이 어떤 형태를 취하는지를 고려하여 약간의 노력을 경감 할 수 있습니다.

만약 #엔# 다음 홀수 정수입니다 #n = 2k + 1 # 일부 정수의 경우 #케이# 과:

# 2 ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

이것은 형식의 홀수 정수입니다. # 4p + 1 #.

그래서 두 개의 홀수 정수의 제곱을 더하면, 항상 정수의 정수를 얻을 수 있습니다. # 4k + 2 # 일부 정수의 경우 #케이#.

유의 사항 #324 = 4*81# 형태의 # 4k #, 아니라 # 4k + 2 #.

그러므로 우리는 세 정수가 모두 짝수이어야한다는 것을 추론 할 수 있습니다.

정수에는 유한 한 수의 솔루션이 있습니다. # n ^ 2> = 0 # 임의의 정수 #엔#.

음수가 아닌 정수로 솔루션을 고려하십시오. 마지막에 음의 정수가 포함 된 변형을 추가 할 수 있습니다.

가장 큰 정수가 #엔#, 다음:

# 324 / 3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

그래서:

# 12 <= n <= 18 #

결과적으로 다른 두 정수의 제곱의 합계가 생깁니다.

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

각 값에 대해 #케이#, 가장 큰 나머지 정수가 #엠#. 그때:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

우리는 # k-m ^ 2 # 완벽한 광장으로.

따라서 우리는 해결책을 찾는다.

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

따라서 확실한 양의 정수를 갖는 유일한 솔루션은 #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 ^ 3 ^ 4 = w ^ 2 #

그 사실을 보여주기 쉽습니다. # x, y # 과 #지# 만드는 것조차해야한다. # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # 과 # z = 2m_z # 우리는

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # 또는

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2xx 3 ^ 4 # 그것은 어리 석다.

그래서 우리는 지금부터 고려할 것입니다.

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

이제 정체성을 고려해보십시오.

(1 ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((1 ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) ^ 2 #

와 # l, m, n # 임의의 양의 정수와

(m_y = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

우리는

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # 또는에 대한 해결 #엔#

# n = 1 / 2 (9pm² (9 ^ 2-4 (1 ^ 2 + m ^ 2))) #

타당성을 위해 우리는

# 9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2) = p ^ 2 # 또는

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

그래서 # p = {1,2,3,4,5,6,7,8} # 우리는

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # 실현 가능하다. #큐# 아르

#q_f = {80,72,56,32} # 때문에 #q equiv 0 mod 4 #

그래서 우리는 찾아야 해.

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # 또는

# 1_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1 / 4q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

여기에서 우리가 쉽게 검증 할 수있는 유일한 해결책은

# l_1 = 2, m_1 = 4 # 때문에

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = bar q_1 #

결과적으로 # n_1 = {4,5} #

1로 대체하면

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

해결책을 준다.

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16)