Arcsin x + arccos x = pi / 2를 어떻게 증명합니까?

대답:

보여진 바와 같이

설명:

방해

# arcsinx = theta #

그때

# x = 신테 타 = cos (π / 2-θ) #

# => arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => arcsinx + arccosx = pi / 2 #

대답:

이 문장은 역 삼각 함수가 주 값을 참조 할 때 참이지만, 다른 삼각 함수가 제공하는 것보다 더주의를 기울여야합니다.

inverse trig 함수가 다중 값으로 간주 될 때 우리는 더 미묘한 결과를 얻습니다.

#x = sin ({3π} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} 그러나 #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

우리는 빼내야 만합니다. # 파이 / 2 #.

설명:

이것은 보이는 것보다 더 까다 롭습니다. 다른 대답은 적절한 보상을주지 않습니다.

일반적인 규칙은 작은 글자를 사용하는 것입니다. #arccos (x) # 과 #arcsin (x) # 다중 값 표현식으로 각각 코사인 또는 사인이 주어진 값을 갖는 모든 값을 나타냅니다. #엑스#.

그것들의 합계의 의미는 정말로 모든 가능한 조합이며, 그것들은 항상 # pi / 2. # 그들은 항상 조타 각도 중 하나를 제공하지 않습니다. # pi / 2 + 2pi k 쿼드 # 정수 #케이#, 우리가 지금 보여줄 것입니다.

먼저 다중 값 역 삼각 함수를 사용하는 방법을 살펴 보겠습니다. 일반적으로 기억하십시오. # cos x = cos a # 해결책을 가졌다. # x = pm a + 2pi k 쿼드 # 정수 #케이#.

# c = arccos x # 정말로 의미한다.

#x = cos c #

#s = arcsin x # 정말로 의미한다.

#x = sin s #

#y = s + c #

#엑스# 스윕하는 실제 매개 변수의 역할을합니다. #-1# 에 #1#. 우리는을 위해 해결하고 싶다. #와이#가능한 모든 값을 찾는다. #와이# 어떤 #x, s # 과 #기음# 이 연립 방정식을 만든다. #x = cos c, x = sin s, y = s + c # 참된.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2-s) = cos c #

우리는 코사인의 평등에 대한 위의 일반적인 해결책을 사용합니다.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k 쿼드 # 정수 #케이#

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

그래서 우리는 훨씬 더 불투명 한 결과를 얻었습니다.

#arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(사인을 뒤집는 것은 허용됩니다. #케이.#)

대문자로 쓰는 주요 가치에 초점을 맞추자.

보여 주다 #text {원} 텍스트 {죄} (원) {텍스트} {원고} 텍스트 {원고} (x) = π / 2 #

이 문장은 일반적인 방법으로 정의 된 주요 값에 실제로 적용됩니다.

합계는 정의됩니다 (복잡한 숫자가 될 때까지). # -1 le x le 1 # 유효한 사인과 코사인이 그 범위에 있기 때문입니다.

우리는 이에 상응하는

# {Arc} text {cos} (x) stackrel {?} 파이 / 2 - 텍스트 {아크} 텍스트 {sin} (x) #

우리는 양측의 코사인을 취할 것입니다.

#cos (텍스트 {호} 텍스트 {cos} (x)) = x #

# sin (text {Arc} text {sin} (x)) = x #

따라서 징후 나 원금 가치에 대해 걱정하지 않고 우리는 확신합니다.

# cos (text {Arc} text {cos} (x)) = cos (pi / 2- 텍스트 {원} text {죄}

까다로운 부분, 즉 존중받을만한 부분은 다음 단계입니다.

#text {원문} text {원문} (원문) {원문} {원문} {원고} 아직 확실하지 않다.

우리는주의 깊게 밟아야합니다. 긍정적이고 부정적인 것을 생각해 봅시다. #엑스# 갈라져.

먼저 # 0 le x le 1 #. 즉, 두 가지 역 삼각 함수의 주요 값이 사이에있는 첫 번째 사분면에 있음을 의미합니다. #0# 과 # pi / 2. # 첫 번째 사분면에 제한적으로, 등가 코사인은 등각을 의미하므로 결론을 내립니다. #x ge 0, #

#text {원문} text {원문} (원문) {원문} {원문} {원고}

지금 # -1 le x <0. # 역 부호의 주요 값은 제 4 사분면에 있고, #x <0 # 우리는 일반적으로 범위에서 주요 값을 정의합니다.

# - pi / 2 le 텍스트 {호} 텍스트 {죄} (x) <0 #

# pi / 2 ge - text {호감} 텍스트 {죄수} (x)> 0 #

#pi ge / 2 - 텍스트 {호} 텍스트 {죄} (x)> 파이 / 2 #

# 파이 / 2 <파이 / 2 - 텍스트 {아크} 텍스트 {죄} (엑스) 파일 #

음의 역 코사인의 주요 값은 두 번째 사분면이며, # pi / 2 <text {호감} 텍스트 {cos} (x) le pi #

그래서 우리는 코사인이 같은 두 번째 사분면에 두 개의 각도를 가지고, 각이 동일하다는 결론을 내릴 수 있습니다. 에 대한 #x <0 #, #text {원문} text {원문} (원문) {원문} {원문} {원고}

그래서 어느쪽으로 든, # 텍스트 {아크} 텍스트 {죄} (텍스트) {아크} 텍스트 {코스} (엑스) = 파이 / 2 쿼드 sqrt #