폭스 여사는 수업의 합계가 4.2와 2의 제곱근을 합리적 또는 비합리적인 것으로 질문했습니다. 패트릭은 그 합이 불합리하다고 대답했다. 패트릭이 맞는지 틀린 지 설명하십시오. 추론을 정당화하십시오.

대답:

합계 # 4.2 + sqrt2 # 비이성적이다. 반복되는 10 진수 확장 속성을 상속받습니다. #sqrt 2 #.

설명:

안 무리수 두 개의 정수의 비율로 표현할 수없는 숫자입니다. 숫자가 불합리한 경우 패턴없이 소수점 확장이 영원히 계속되고 그 반대도 마찬가지입니다.

우리는 이미 알고 있습니다. #sqrt 2 # 비이성적이다. 그것의 십진법 확장은 시작된다:

#sqrt 2 = 1.414213562373095 … #

수 #4.2# ~이다. 합리적인; 그것은 다음과 같이 표현 될 수있다. #42/10.# 우리가 소수점 확장에 4.2를 더하면 #sqrt 2 #, 우리는 얻는다:

#sqrt 2 + 4.2 = 색상 (흰색) + 1.414213562373095 … #

#color (흰색) (sqrt 2) 색상 (흰색) + 색상 (흰색) (4.2 =) + 4.2 #

#color (흰색) (sqrt 2) 색 (흰색) + 색 (흰색) (4.2 =) 막대 (색 (흰색) (+) 5.614213562373095 …) #

이 합계도 끝나거나 반복되는 패턴이 없으므로 쉽게 비합리적입니다.

일반적으로 합리적인 수와 비합리적인 수의 합은 항상 비합리적입니다.; 인수는 위와 유사합니다.

대답:

#color (파란색) ("correct") #

설명:

합이 합리적이라고 말하는 것으로 시작하면 모든 유리수는 두 정수의 지수로 쓸 수 있습니다. # a / bcolor (흰색) (88) # #b! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21 / 5 + sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21 / 5 #

# sqrt (2) = (5a-21b) / (5b) #

두 정수의 결과는 정수입니다.

두 정수의 차이는 정수입니다.

그래서:

# 5a-21b # 정수입니다.

# 5b # 정수입니다.

금후:

# (5a-21b) / (5b) # 이성적이다.

그러나 우리는 #sqrt (2) # 비 합리적이기 때문에 합계가 합리적이라는 가정과의 모순입니다. 따라서 비합리적인 수와 합리적인 수의 합은 항상 비합리적입니다.