반지름이 20 인 정 팔각형의 둘레는 얼마입니까?

대답:

그것은 달려 있습니다:

안쪽 반지름이 #20#이면 경계가 다음과 같습니다.

# 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

바깥 쪽 반지름이 #20#이면 경계가 다음과 같습니다.

# 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122.46 #

설명:

여기서 빨간색 원은 외측 반경을 외접하고 녹색 원은 내 원을 외 쌉니다.

방해 #아르 자형# 바깥 쪽 반지름 - 빨간색 원의 반지름.

그런 다음 팔각형의 정점은 #(0, 0)# 에 있습니다:

# (± r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + - r / sqrt (2)) #

한면의 길이는 # (r, 0) # 과 # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((r-r / sqrt (2)) ^ 2 + (r / sqrt (2)) ^ 2) #

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1 / 2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1 / 2 + 1 / 2) #

# = r sqrt (2-sqrt (2)) #

따라서 전체 둘레는 다음과 같습니다.

#color (적색) (8r sqrt (2-sqrt (2))) #

그래서 바깥 쪽 반지름이 #20#이면 경계가 다음과 같습니다.

# 8 * 20 sqrt (2-sqrt (2)) = 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122.46 #

#color (흰색) () #

안쪽 반지름은 # r_1 = rcos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2))) #

그래서 #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

그러면 총 둘레는

# sqrt (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) sqrt

# = 16r_1 sqrt (2-sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2)))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2) (2-sqrt (2))) / ((2 + sqrt (2)) (2-sqrt (2)

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = 색상 (녹색) (16r_1 (sqrt (2) -1)) #

따라서 내부 반경이 #20#이면 경계가 다음과 같습니다.

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~ 132.55 #

#color (흰색) () #

근사치가 얼마나 좋은가? # 파이 # 이게 우리에게주는거야?

우리가 여기있는 동안, # 파이 # 안쪽과 바깥 쪽 반지름을 평균하여 얻습니까?

#pi ~~ 2 (2 (sqrt (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2))) ~~ 3.1876 #

… 그렇게 대단하지 않아.

좋은 근사값을 얻으려면 #355/113 ~~ 3.1415929#, 중국의 수학자 Zu Chongzhi는 #24576# (# = 2 ^ 13 xx 3 #) 양면 다각형과 계수 막대.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi