3 차 및 4 차 방정식을 푸는 가장 빠르고 쉬운 방법은 무엇입니까 (다항식 계산기없이)?

대답:

그것은 다릅니다 …

설명:

3 차 또는 4 차 (또는 다차원의 다항식)가 이성분의 뿌리를 가지고 있다면, 합리적인 뿌리 정리가 그들을 찾을 수있는 가장 빠른 방법 일 수 있습니다.

Descartes의 Sign of Rule은 다항식에 양수 또는 음수가 있는지 여부를 확인하는 데 도움이되므로 검색 범위를 좁히는 데 도움이됩니다.

3 차 방정식의 경우, 판별을 평가하는 것이 도움이 될 수 있습니다.

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

• 만약 #Delta = 0 # 큐빅은 반복 된 루트를가집니다.

• 만약 # 델타 <0 # 큐빅은 하나의 실제 루트와 두 개의 비 실제 복잡한 루트를 갖습니다.

• 만약 # 델타> 0 # 그 입방체에는 3 개의 진짜 뿌리가 있습니다.

만약 #Delta = 0 # 큐빅은 그 파생물과 하나의 요소를 공유하므로 다항식 GCF를 계산하여 공통 인자를 찾을 수 있어야합니다.

그렇지 않으면 Tschirnhaus 변환을 사용하여 우울증 입방 더 진행하기 전에 제곱 된 용어가 없습니다.

큐빅에 하나의 실제 루트와 두 개의 실제가 아닌 루트가 있다면, 나는 카 다노의 방법을 추천 할 것입니다.

3 개의 근본적인 근원이있는 경우에 대신 삼각법 대체를 사용하는 것이 좋습니다.

quartics의 경우 큐브 용어가없는 우울한 quartic을 얻을 수 있습니다. #t = x + b / (4a) #.

결과 quartic도 선형 항을 갖지 않으면 이차항 # x ^ 2 #. 이것을 2 차 방정식으로 풀고 제곱근을 취하거나 다음과 같은 형식으로 factorisation을 사용할 수 있습니다.

(x ^ 2 + ax + b) = x ^ 4 + (2b-a ^ 2) x ^ 2 + b ^ 2 #

이것에서 해결할 이차 요인을 찾을 수 있습니다.

결과 quartic에 선형 항이 있으면 다음 형식으로 인수 분해 할 수 있습니다.

(x-2 + ax + c) = x ^ 4 + (b + c-a ^ 2) x ^ 2 + a (b-c) x + bc #

계수를 Equating하고 # (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc #, 입방체를 도출 할 수 있습니다. # a ^ 2 #. 따라서 가능한 값을 찾을 수 있습니다. #에이#, #비# 과 #기음#. 그런 다음 이차 요인의 0을 찾습니다.

다른 특수한 경우가 있지만 대략적으로 다루고 있습니다.