대답:
그것은 정확히 뿌리 중 하나입니다. #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # 어디에 #T_n (x) # 는 #엔#th Chebyshev 첫 번째 종류의 다항식. 그것은 46 개의 뿌리 중 하나입니다.
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x24 - 541167892561920 x22 + 162773155184640x20 - 38370843033600x18 + 6988974981120x16 - 963996549120x14 + 97905899520x12 - 7038986240x10 + 338412800x8 - 9974272x6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512x ^ 26 - 4599927086776320x ^ 24 + 1555857691115520x ^ 22 - 418884762992640x ^ 20 + 88826010009600x ^ 18 - 14613311324160x ^ 16 + 1826663915520x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
설명:
# 58 ^ circ # ~의 배수가 아님 # 3 ^ circ #. 의 배수 # 1 ^ circ # 의 배수가 아닌 # 3 ^ circ # 직선 자 및 나침반으로 구성 할 수 없으며 삼각 함수는 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 및 제곱근을 사용하는 정수 구성의 결과가 아닙니다.
그렇다고 우리가 몇 가지 표현을 쓸 수 없다는 의미는 아닙니다. #cos 58 ^ circ #. 학위 기호를 사용하여 # {2pi} / 360 #.
# e ^ {618 ^ circ} = cos ^ 58 ^ circ + 1 ^ sin ^ 58 ^ circ #
# e ^ {- 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ - 1 / sin 58 ^ circ #
# e ^ {circ}} + e ^ {- i = 58 ^ circ} = 2 cos 58 ^ circ #
#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #
그다지 도움이되지 않습니다.
우리는 다항식 방정식을 적을 수 있습니다. #cos 58 ^ circ # 그러나 그것은 아마도 너무 커야 적응할 수있을 것입니다.
# theta = 2 ^ circ # ~이다. #180#th의 원. 이후 #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # 그 의미는 #cos 2 ^ circ # 만족하다
#cos (44 세타) = -cos (46 세타) #
#cos (180 ^ circ -44 theta) = cos (46 θ) #
이것을 해결하자. # theta # 먼저. #cos x = cos a # 뿌리가있다 # x = pm a + 360 ^ circ k, # 정수 #케이#.
# 180 ^ circ -46 theta = pm44theta - 360 ^ circ k #
# 46 theta pm 44 theta = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #
#theta = 2 ^ circ + 4 ^ circ k 또는 theta = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #
그것은 많은 뿌리가 있습니다. # theta = 58 ^ circ # 그들 사이에.
다항식 #T_n (x) #, 첫 번째 종류의 체비 셰프 폴리 노미 얼 (Chebyshev Polynomials)이라 불리며, #cos (ntheta) = T_n (cosθ) #. 그들은 정수 계수를가집니다. 우리는 이중 및 삼중 각도 수식에서 처음 몇 가지를 알고:
#cos (0 세타) = 1 쿼드 쿼드 # 그래서# 쿼드 쿼드 T_0 (x) = 1 #
#cos (1 theta) = cos theta quad quad # 그래서# 쿼드 쿼드 T_1 (x) = x #
#cos (2 세타) = 2cos ^ 2 세타 -1 쿼드 쿼드 # 그래서 # 쿼드 쿼드 T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #
#cos (3 세타) = 4cos ^ 3 세타 - 3 코스 시타 쿼드 쿼드 # 그래서 # 쿼드 쿼드 T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #
확인할 수있는 재귀 관계가 있습니다.
T_ {n-1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1}
그래서 이론적으로 우리는 큰 것으로 생성 할 수 있습니다. #엔# 우리가 신경 쓰듯.
우리가 # x = cos theta, # 우리 방정식
#cos (44 세타) = -cos (46 세타) #
된다
#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #
Wolfram Alpha는 이들이 무엇인지 알려주고 있습니다. 수학 렌더링을 테스트하기 위해 방정식을 작성합니다.
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x24 - 541167892561920 x22 + 162773155184640x20 - 38370843033600x18 + 6988974981120x16 - 963996549120x14 + 97905899520x12 - 7038986240x10 + 338412800x8 - 9974272x6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512x ^ 26 - 4599927086776320x ^ 24 + 1555857691115520x ^ 22 - 418884762992640x ^ 20 + 88826010009600x ^ 18 - 14613311324160x ^ 16 + 1826663915520x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
네,이 답변은 오래갑니다, 소크라테스에게 감사드립니다. 정수 계수가있는 46 차 다항식의 근본 중 하나는 다음과 같습니다. # cos 58 ^ circ #.
