모서리가 (9, 7), (4, 4), (8, 6) # 인 삼각형의 orthocenter는 무엇입니까?

대답:

아래를 참조하십시오.

설명:

꼭지점을 호출 할 것입니다. # A = (4,4) #, # B = (9,7) # 과 # C = (8,6) #.

우리는 두면에 수직이고 두 개의 꼭지점을 통과하는 두 개의 방정식을 찾아야합니다. 두 개의 변의 기울기와 그 결과 두 개의 수직선의 기울기를 찾을 수 있습니다.

AB의 경사:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

이 기울기와 수직 인 기울기:

#-5/3#

이것은 꼭지점 C를 통과해야하기 때문에 선의 방정식은 다음과 같습니다.

# y-6 = -5 / 3 (x-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

기원전의 기울기:

#(6-7)/(8-9)=1#

이 기울기와 수직 인 기울기:

#-1#

이것은 꼭지점 A를 통과해야하기 때문에 선의 방정식은 다음과 같습니다.

# y-4 = - (x-4) #, # y = -x + 8 # 2

1과 2가 교차하는 곳은 orthocenter입니다.

1과 2를 동시에 해결하십시오.

# 3 (-x + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = -5x + 58 #

# -3x + 24 = 5x + 58 => x = 34 / 2 = 17 #

2 사용:

# y = -17 + 8 = -9 #

수심:

#(17, -9)#

삼각형이 둔하기 때문에 orthocenter는 삼각형 외부에 있습니다. 이것이 교차 할 때까지 고도 선을 연장하면 볼 수 있습니다.

대답:

수심

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

주심

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

설명:

수심

주어진 # p_1, p_2, p_3 # 과

# vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # 그렇게

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

그 벡터들은 쉽게 얻을 수 있습니다.

# p_1 = (x_1, y_1) # 과 # p_2 = (x_2, y_2) # 그리고

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

이제 우리는

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

이 세 선은 삼각형의 정위 중심에서 교차합니다.

고르는 # L_1, L_2 # 우리는

# (x_0, y_0) = "arg"(L_1 nn L_2) # 또는

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

방정식을 준다.

# {(vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >> (23) >> vec v_ (23) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >> (vec v_ (23)):} #

이제 해결할 # lambda_1, lambda_2 # 우리는

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

그리고

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

주심

원주 방정식은

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

지금은 # {p_1, p_2, p_3} C # 우리는

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):} #

두 번째에서 첫 번째를 뺍니다.

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

세 번째에서 첫 번째를 뺍니다.

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

방정식의 시스템을 제공

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) ((x_0), (y_0)) = 1 / 2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)))

이제 주어진 값을 우리가 얻은 값으로 대체합니다.

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

orthocenter (빨간색)과 circumcentercenter (파란색)을 보여주는 플롯을 첨부했습니다.