5의 제곱근은 무엇입니까?

의 제곱근 #5# 아버지가 이미 그것을 단순화 할 수 없다. 그래서 여기있다. # sqrt5 # 소수점 이하 10 자리까지

# sqrt5 ~~ 2.2360679775 … #

대답:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / 4 + …)))))) ~~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # 비합리적인 번호입니다.

설명:

모든 양수는 일반적으로 두 개의 제곱근을 가지며 양수인과 음수가 같은 크기입니다. 우리는 양의 (a.k.a. principal) 제곱근을 나타냅니다. #엔# 으로 #sqrt (n) #.

숫자의 제곱근 #엔# 숫자이다. #엑스# 그렇게 # x ^ 2 = n #. 그래서 만약 # x ^ 2 = n # 그 다음에도 # (- x) ^ 2 = n #.

그러나 대중적인 사용법은 "제곱근"이 긍정적 인 것을 가리킨다는 것입니다.

양수가 있다고 가정합니다. #엑스# 만족:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

그런 다음 양쪽에 # (2 + x) # 우리는 얻는다:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

그런 다음 # 2x # 양쪽에서 우리는 얻는다:

# x ^ 2 = 5 #

그래서 우리는 발견했습니다:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (white) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / 4 + 1 / (4 + 1 /

이 연속 분수가 끝나지 않으면 우리는 #sqrt (5) # 종료 분수, 즉 유리수로 나타낼 수 없습니다. 그래서 #sqrt (5) # 비합리적인 숫자이다. #2 1/4 = 9/4#. 보다 합리적인 근사값을 얻으려면 더 많은 용어를 사용한 후 계속 분수를 종료 할 수 있습니다.

예:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1 / 4) = 2 + 4 / 17 = 38/17 ~ ~ 2.235 #

이 연속적인 분수를 푸는 것은 약간 지루할 수 있습니다. 그래서 일반적으로 다른 방법, 즉 재귀 적으로 정의 된 정수 시퀀스의 제한 비율을 사용하는 것을 선호합니다.

시퀀스를 다음과 같이 정의하십시오.

# (a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n)

처음 몇 용어는 다음과 같습니다.

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

용어 간의 비율은 # 2 + sqrt (5) #.

그래서 우리는 발견:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #