더 큰 것 : 1000 ^ (1000) 또는 1001 ^ (999)?

대답:

#1000^1000 > 1001^999#

설명:

방정식을 고려하면

# 1000 ^ 1000 = 1001 ^ x #

만약 #x> 999 #

그때

#1000^1000 > 1001^999#

그밖에

#1000^1000 < 1001^999#

로그 변환을 양쪽에 적용합니다.

# 1000 로그 1000 = x 로그 1001 #

그러나

#log1001 = log1000 + 1 / 1000xx1-1 / (2!) 1 / 1000 ^ 2xx1 ^ 2 + 2 / (3!) 1 / 1000 ^ 3xx1 ^ 3 + cdots + 1 / (n!) (d / dx) log x) _ (x = 1000) 1 ^ n #.

이 시리즈는 번갈아 가며 빠르게 수렴하므로

# log1001 약 log1000 + 1 / 1000 #

에서 대체

#x = 1000 log1000 / (log1000 + 1 / 1000) = 1000 (3000/3001) #

그러나 #3000/3001 = 0.999667# 그래서

#x = 999.667> 999 # 그때

#1000^1000 > 1001^999#

대답:

다음은 이항 정리를 사용하여 증명할 수있는 대체 솔루션입니다.

#1001^999 < 1000^1000#

설명:

이항 정리에 의해:

#(1+1/1000)^999 = 1/(0!) + 999/(1!)1/1000 + (999*998)/(2!)1/1000^2 + (999*998*997)/(3!) 1/1000^3 + … + (999!)/(999!) 1/1000^999#

# 1 / (0!) + 1 / (1!) + 1 / (2!) + 1 / (3!) + … =

그래서:

#1001^999 = (1001/1000 * 1000) ^ 999#

#color (흰색) (1001 ^ 999) = (1 + 1 / 1000) ^ 999 * 1000 ^ 999 #

#color (흰색) (1001 ^ 999) <e * 1000 ^ 999 <1000 * 1000 ^ 999 = 1000 ^ 1000 #

대답:

#1000^1000 > 1001^999#

설명:

# 로그 1000 = 로그 10 ^ 3 = 3 및 로그 1001 = 3.0004340을 사용하십시오.

여기서 두 대수의 대수는 다음과 같습니다.

#log (1000 ^ 1000) = 1000 log1000 = (1000) (3) = 3000 # 과

#log 1001 ^ 999 = (999) (3.0004340 …) = 2997.4 #…

로그가 증가하는 함수이므로, #1000^1000 > 1001^999#.