O (0,0), P (a, b) 및 Q (c, d) #에 꼭지점이있는 삼각형의 orthocenter는 무엇입니까?

대답:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad-bc} (d-b, a-c) #

설명:

저는 새로운 질문을하기보다는이 오래된 질문을 일반화했습니다. 외재 질문을하기 전에 이것을했는데 아무 일도 일어나지 않았으므로 시리즈를 계속합니다.

전에 대수학을 다루기 쉽도록하려고 원점에 하나의 꼭지점을 넣었습니다. 임의의 삼각형은 쉽게 번역되고 결과는 쉽게 번역됩니다.

orthocenter는 삼각형의 고도 교차로입니다. 그것의 존재는 한 지점에서 삼각형의 고도가 교차한다는 이론에 기초한다. 우리는 3 개의 고도가 병발 사정.

삼각형 OPQ의 고도가 병존하고 있음을 증명합시다.

변의 방향 벡터는이다. # P-O = P = (a, b), # 슬로프를 말하는 멋진 방법입니다 # b / a # (그러나 방향 벡터는 # a = 0 #). 우리는 좌표를 교환하고 하나를 부정함으로써 수직의 방향 벡터를 얻습니다. # (b, -a). # 수직으로 0 도트 곱에 의해 확인됩니다.

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 쿼드 sqrt #

OP에서 Q까지의 고도의 파라 메트릭 방정식은 다음과 같습니다.

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, 진짜를 위해 #티#

OQ에서 P까지의 고도는 유사합니다.

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # 진짜를 위해 #유#

PQ의 방향 벡터는이다. # Q-P = (c-a, d-b) #. 원점을 통과하는 수직선, 즉 PQ로부터의 고도는 따라서

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # 진짜를 위해 #V#

OP와 PQ에서 고도를 만나 봅시다.

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

그것은 두 개의 미지수에있는 두 개의 방정식입니다. #티# 과 #V#.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

우리는 첫 번째로 #에이# 두 번째는 #비#.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

첨가, (ad-ab + ab-bc) #ac + bd = v (a (d-b) + b

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

분모의 분자와 교차 곱에서 점 내적 (dot product)으로 차가운 방법.

만남은 추정 된 orthocenter이다. # (x, y) #:

(d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad-bc} (d-b, a-c)

다음으로 OQ와 PQ에서 고도의 만남을 찾아 보겠습니다. 대칭에 의해 우리는 단지 바꿀 수 있습니다. #에이# 와 #기음# 과 #비# 와 #디#. 결과를 호출합니다. # (x ', y'). #

c-a) = {ac + bd} / {ad-bc} (d-b, a-c) # (x ', y') = {ca + db} / {

우리는이 두 개의 교차점이 같고, # (x ', y') = (x, y), # 그래서 우리는 고도가 병존하고 있음을 증명했습니다. #quad sqrt #

우리는 공통 교차로의 이름을 정당화했습니다. 수심 좌표를 찾았습니다.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad-bc} (d-b, a-c) #