F (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36)의 영역과 범위는 무엇입니까?

대답:

도메인은 # RR # (모든 실수)이며 범위는 # 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72

(와 사이의 모든 실제 숫자 # (5-sqrt (61)) / 72 # 과 # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

설명:

도메인에서 모든 실수로 시작한 다음 음수의 제곱근을 갖도록 강제로 제거하거나 #0# 분수의 분모에

한눈에, 우리는 # x ^ 2> = 0 # 모든 실수에 대해, # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. 따라서 분모는 #0# 임의의 실수에 대해 #엑스#도메인이 모든 실수를 포함한다는 것을 의미합니다.

범위의 경우 위의 값을 찾는 가장 쉬운 방법은 몇 가지 기본 계산법입니다. 그것은 더 길지만, 아래에 설명 된 방법으로 대수 만 사용하여 찾을 수도 있습니다.

함수로 시작하기 #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # 우리는 가능한 모든 가치를 찾고자한다. #f (x) #. 이는 역함수의 도메인을 찾는 것과 같습니다. # f ^ -1 (x) # (속성을 가진 함수 (f (-1) (x)) = 1 #)

불행히도, #f (x) # 이 경우에는 함수가 아니며 2 개의 값을 반환하기 때문에 아이디어는 여전히 동일합니다. 우리는 방정식으로 시작할 것입니다. #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # 해결할 #엑스# 역함수를 찾는 것. 다음으로 가능한 값을 살펴 보겠습니다. #와이# 역의 영역을 찾고 원래 함수의 범위를 찾으십시오.

해결을위한 #엑스#:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

치료 #와이# 상수로, 우리는 2 차 방정식을 적용한다.

x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) # ax ^ 2 + bx + c =

얻기 위해

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5))) / (2y) #

위 식의 도메인을 찾아야합니다. #+-#). 로 나누면 #와이# 2 차 공식에서 우리는 # y = 0 #, 원래의 방정식에서 분명하게 가능하다. #x = -5 #). 따라서 우리는 #와이# 반비례의 분모에서, 제곱근에만 초점을 맞 춥니 다.

이전에 언급했듯이 우리는 0보다 작은 값의 제곱근을 허용하지 않으므로 제한이 있습니다.

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

에 대한 2 차 공식 사용 # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # 우리는 어떤 단순화 후에, #y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

마지막으로, 우리는 다음과 같이 말할 수 있습니다. # | y | # 커지고, # -144y ^ 2 + 20y + 1 # 보다 적을 것이다 #0#. 따라서 우리는 단지

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # 과 #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

허용 된 값은 #와이#, 따라서 #f (x) #,이다

# 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72