왜 복소수의 삼각 함수를 찾아야합니까?

복소수로 무엇을해야하는지에 따라 삼각법 형식은 매우 유용하거나 매우 까다 롭습니다.

예를 들어, let # z_1 = 1 + i #, # z_2 = sqrt (3) + i # 과 # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

두 개의 삼각 함수를 계산해 봅시다:

# theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # 과 # rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # 과 # rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # 과 # rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

따라서 삼각 함수 형식은 다음과 같습니다.

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

부가

당신이 계산하기를 원한다고 가정 해 봅시다. # z_1 + z_2 + z_3 #. 대수 양식을 사용하면

(sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) # z_1 + z_2 + z_3 =

꽤 쉬운. 이제 삼각 함수로 시도해보십시오 …

(cos (π / 6) + sin (π / 6)) + 2 (cos (π / 4) 2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

이 두 표현식을 추가하는 가장 짧은 방법은 코사인과 사인 (sine)을 푸는 것인데, 이는 대수 형태로 전환하는 것입니다.

대수 양식은 종종 복소수를 더할 때 선택하기에 가장 적합한 형식입니다..

곱셈

이제 우리는 # z_1 * z_2 * z_3 #. 대수 양식을 사용하려면 많은 계산이 필요합니다. 그러나이 제품을 삼각 형태로 풀면 더 간단합니다.

(cos (π / 6) + sin (π / 6)) * 2 (cos (π / 4) (2π / 4π / 2 + 3π) + sin (2π / 3π)) = 4 sqrt {2} / 3π)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

두 번째 평등이 유지된다고 증명할 수있는 성분은 삼각법에서 나온 것입니다. 덧셈 공식

#sin (α + β) = sin (α) cos (β) + sin (β) cos (α) #

(α + β) = cos (α) cos (β) -sin (α) sin (β) #

복소수의 곱셈은 지수 형식으로 더 깨끗합니다 (개념적으로는 더 쉽지 않음).

어떤면에서 삼각 함수 형식은 대수와 지수 형식 사이에 일종의 중간 형식입니다. 삼각 함수는이 두 가지를 전환하는 방법입니다. 이 의미에서 이것은 일종의 "사전"형태를 번역하는 것입니다.