2sinx = cos (x / 3)을 어떻게 풀 수 있습니까?

대답:

우리의 근사 솔루션은 다음과 같습니다.

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, 또는 -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad #

정수의 경우 #케이#.

설명:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

이것은 꽤 힘든 일입니다.

설정하여 시작하겠습니다. # y = x / 3 # 그래서 # x = 3y # 대체. 그런 다음 트리플 각 공식을 사용할 수 있습니다.

# 2 sin (3y) = cos y #

# 2 (3 sin - 4 sin ^ 3 y) = cos y #

우리는 모든면을 # 죄악 ^ 2 y #. 이것은 아마도 관계없는 뿌리를 가져올 것입니다.

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

방해 # s = sin ^ 2 y #. 사각형의 사인 (squared sines)이 호출됩니다. 퍼짐 Rational Trigonometry에서.

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4s (9 - 24s + 16s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

이것은 세 가지 실제 뿌리를 가진 3 차 방정식입니다. # 3x. # 우리는 입방식을 사용할 수 있습니다. 그러나 이것은 단지 도움이되지 않는 복소수의 큐브의 뿌리로 이어질 것입니다. 숫자 해법을 취해 봅시다:

# s 0.66035 또는 s 0.029196 또는 s 0.81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

학위로 일해 봅시다. 우리의 잠재적 인 근사 솔루션은 다음과 같습니다.

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.66035}) 약 pm 163.058 ^ circ 또는 pm 703.058 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.029196}) 대략 오후 29.5149 또는 오후 569.51 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) 대략 오후 192.573 또는 오후 732.573 ^ circ #

그 중 어떤 것이 있는지 봅시다. 방해 #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ circ) 약 0.00001 쿼드 # 그것은 해결책입니다.

#e (-163.058 ^ circ) 약 -1.17 쿼드 # 해결책이 아닙니다.

분명히 대부분의 #오후# 쌍이 작동합니다.

열 가지 더.

#e (703.058 ^ circ) 약 0.00001 쿼드 sqrt #

#e (-703.058 ^ circ) quad # 아니

#e (29.5149 ^ circ) 약 10 ^ {- 6} 쿼드 sqrt #

#e (-29.5149 ^ circ) quad # 아니

#e (569.51 ^ circ) 약 10 ^ {- 4} 쿼드 sqrt #

#e (-569.51 ^ circ) quad # 아니

#e (192.573 ^ circ) 약 -87 quad # 아니

#e (-192.573 ^ circ) 약 0.00001 쿼드 sqrt #

#e (732.573 ^ circ) 약 -87 quad # 아니

#e (-732.573 ^ circ) 약 0.00001 쿼드 sqrt #

아크 사인은 # + 360 ^ circ k #, 3의 요인은 그것을 만든다. # 1080 ^ circ k #

좋습니다, 대략적인 솔루션은 다음과 같습니다.

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad # 정수의 경우 #케이#.