F (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)의 극한값과 안장 점은 무엇입니까?

우리는:

# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #

2 단계 - 중요 포인트 식별

임계점은 다음과 같은 동시 솔루션에서 발생합니다.

#f_x = f_y = 0 iff (부분 f) / (부분 x) = (부분 f) / (부분 y) = 0 #

즉,

# {: (f_y = x-2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), = 0, … B):}} # 동시에

우리가 얻을 수있는 것:

y = 2 / 2x = 2, y = 2, y = 2, y =

(x - 2 ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2 - y ^ 2) = x / (2y) #

따라서 우리는 다음을 요구합니다.

# y / (2x) = x / (2y) #

#:. x ^ 2 = y ^ 2 #

그런 다음 두 개의 (무한 평면) 솔루션을 갖게됩니다.

#:. x = + - y #

그리고 우리는 곡선의 교차점과 두 평면의 전체 길이를 따라 무한히 많은 임계점이 존재한다고 결론을 내립니다 #x = + - y #

3 단계 - 임계점 분류

임계점을 분류하기 위해 두 번째 부분 미분과 헤센 행렬을 사용하여 하나의 변수 미적분과 유사한 테스트를 수행합니다.

# Delta = Hf (x, y) = | (f_ (xx) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((부분 2f) / (부분 2f) / (부분 2f) / (부분 2f) / (부분 y 부분 x)) / (부분 y ^ 2)) | #

# = f_ (xx) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

다음의 가치에 따라 #델타#:

0 ","f_ (xx) <0 "이면 최대 값,"f_ (xx)> 0 "이면 최소값)), (델타 = 0, "추가 분석이 필요합니다"):} #

# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2 - y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2 - y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2 - y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2 - y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2 - y ^ 2)} ^ 2 #

(x ^ 2 + y ^ 2)) - (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2) 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #

우리는 #델타#, 우리는 # e ^ z gt 0 RR #의 AA z, 그래서의 표시를 고려할 필요가있다:

(x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #

그래서, 기호에 따라 #델타'# 우리는 비행기를 따라 무한 수의 최대 값과 안장 포인트를가집니다. #x = + - y #

다음은 함수의 플롯입니다.

그리고 비행기를 포함한 함수의 플롯이 있습니다. #x = + - y #