F (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x의 극한값과 안장 점은 무엇입니까?

대답:

원점에서 안장을 가리 킵니다.

설명:

우리는:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

그래서 우리는 부분 파생물을 도출합니다. 부분 변수를 구별 할 때 다른 변수를 상수로 취급하면서 문제의 변수를 구별 할 때를 기억하십시오. 그래서:

# (부분 f) / (부분 x) = 2xy-y ^ 2 # 과 # (부분적인 f) / (부분적인 y) = x ^ 2-2yx #

극한값이나 안장 포인트에서 우리는:

# (부분 f) / (부분 x) = 0 # 과 # (부분 f) / (부분 y) = 0 # 동시에:

즉,

(2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

따라서 원점에는 단 하나의 임계점 만 존재합니다. #(0,0)#. 임계점의 본질을 확립하기 위해서는 다 변수 Taylor Series의 분석가와 다음 테스트 결과가 필요합니다.

# 델타 = (부분 ^ 2f) / (부분 ^ 2f) / (부분 ^ 2f) / (부분 ^ 2f) / (부분 x 부분 y)} ^ 2 <0 => # 안장 포인트

그래서 우리는 두 번째 부분 파생물을 계산합니다.

# (부분 ^ 2f) / (부분 x ^ 2) = 2y #;# (부분 ^ 2f) / (부분 y ^ 2) = -2x # 과 # (부분 ^ 2f) / (부분 x 부분 y) = 2x-2y #

그래서 언제 # x = 0, y = 0 # 우리는 얻는다:

# 델타 = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

즉 표준 안장 테스트가 포괄적이며 추가 분석이 필요하다는 의미입니다. (이것은 일반적으로 다양한 조각에서 기능의 징조를 보거나이 질문의 범위를 벗어나는 세 번째 부분 파생 테스트를 보는 것을 포함합니다!).

또한 3D 플롯을보고 임계점이 안장 점에 해당하는 것으로 결론을 내릴 수 있습니다.