계산기를 사용하지 않고 cos (pi / 5)를 어떻게 평가합니까?

대답:

Cos (# 파이 # / 5) = cos 36 ° = (# sqrt #5 + 1)/4.

설명:

만약 # theta # = # 파이 #/ 10, 5# theta # = # 파이 #/2 #=># cos3# theta # = sin2# theta #. cos (# 파이 # /2 - # 알파 #) = 죄# 알파 #}.

#=># 4# cos ^ 3 # # theta # - 3cos# theta # = 2sin# theta #코사인# theta ##=># 4 # cos ^ 2 ## theta # - 3 = 2 sin # theta #.

#=># 4 (1 - # 죄악 ^ 2 # # theta #) - 3 = 2 sin# theta #. #=># 4# 죄악 ^ 2 # # theta #+ 2sin# theta # - 1 = 0#=>#

죄# theta # =(# sqrt # 5 - 1) /4.

지금 cos 2# theta # = cos # 파이 #/5 = 1 - 2# 죄악 ^ 2 # # theta #결과를 제공합니다.

대답:

#Cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

설명:

방해 #a = cos (pi / 5) #, #b = cos (2 * pi / 5) #. 그러므로 #cos (4 * pi / 5) = -a #. 이중 각 공식:

#b = 2a ^ 2-1 #

# -a = 2b ^ 2-1 #

빼기, # a + b = 2 (a ^ 2-b ^ 2) = 2 (a + b) (a-b) #

# a + b # 두 항이 모두 양수이므로 0이 아닙니다. # a-b # 반드시 있어야한다. #1/2#. 그때

# a-1 / 2 = 2a ^ 2-1 #

# 4a ^ 2-2a-1 = 0 #

유일한 긍정적 인 뿌리는

# a = cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

과 # b = cos (2 * pi / 5) = a-1 / 2 = (sqrt (5) -1) / 4 #.