[pi / 2, (3pi) / 4]에서 f (x) = 3x-1 / sinx의 극한값은 무엇입니까?

대답:

도메인의 절대 최소값은 대략 1입니다. # (pi / 2, 3.7124) #도메인의 절대 최대 값은 약 1입니다. # (3pi / 4, 5.6544) #. 지역 극한치는 없습니다.

설명:

우리가 시작하기 전에, 그것은 우리가 분석하고 볼 수 있습니다 behooves #sin x # ~을 가치가있다 #0# 그 간격의 어떤 지점에서. #sin x # 모든 x에 대해 0입니다. #x = npi #. # 파이 / 2 # 과 # 3pi / 4 # 둘 다보다 적다. # 파이 # ~보다 큼 # 0pi = 0 #; 그러므로, #sin x # 여기서 0의 값을 취하지 않습니다.

이것을 결정하기 위해 극단적 인 현상이 #f '(x) = 0 # (임계점) 또는 엔드 포인트 중 하나에서. 이를 염두에두고 위의 f (x)의 미분을 취하여이 미분이 0 인 점을 찾습니다.

D / dx (1 / sinx) = 3-d / dx (1 / sinx) # (df) / dx = d / dx

이 마지막 용어를 어떻게 풀어야합니까?

간단히 생각해보십시오. 상호 규칙, 그것은 우리 지난 학기와 같은 상황을 여기에서 처리하기 위해 개발되었다, # d / (dx) (1 / sinx) #. 상호 규칙은 체인 또는 몫 규칙을 사용하여 차별화 된 함수가 주어진다는 것을 설명함으로써 직접 우회 할 수있게합니다 #g (x) #:

# d / dx1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

언제 # g (x)! = 0 #

우리의 주요 방정식으로 돌아가서, 우리는 그만 뒀습니다.

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

이후 #sin (x) # 여기서 우리는 상호적인 규칙을 적용 할 수 있습니다:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (- cos x) / sin ^ 2x #

이 값을 0으로 설정하면 도착합니다.

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

이것은 다음과 같은 경우에만 발생할 수 있습니다. #cos x / sin ^ 2 x = -3. #. 여기에서 삼각 함수 정의 중 하나를 사용하는 것이 좋습니다. # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cosx = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cosx-

이것은 다항식과 유사합니다. #cos x # 우리의 전통적인 x를 대체합니다. 따라서 우리는 #cos x = u # 과…

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. 여기에 이차 방정식을 사용하면 …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

우리의 뿌리는 #u = (1 + -sqrt37) / 6 # 이것에 따르면. 그러나,이 뿌리 중 하나 (# (1 + sqrt37) / 6 #)에 대한 루트가 될 수 없습니다. #cos x # 루트가 1보다 커서 # -1 <= cosx <= 1 # 모든 x에 대해. 반면에 우리의 두 번째 루트는 대략 다음과 같이 계산합니다. #-.847127#. 그러나이 값은 최소값보다 작습니다. #cos x # 함수가 그 간격에있을 수있다. #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -707 <-.847127 #. 그러므로, 도메인에 중요한 포인트가 없다..

이를 염두에두고 우리는 종점으로 돌아와 원래의 기능에 넣어야합니다. 그렇게하면 우리는 #f (pi / 2) 약 3.7124, f (3pi / 4) 약 5.6544 #

따라서 도메인의 절대 최소값은 약 # (pi / 2, 3.7124), # 최대 값은 약입니다. # (3pi / 4, 5.6544) #