X는 확률 밀도 함수가 다음과 같이 주어지는 연속 확률 변수라고 가정합니다. 0 <x <2에 대해 f (x) = k (2x - x ^ 2); 다른 모든 x에 대해서는 0입니다. k, P (X> 1), E (X) 및 Var (X)의 값은 얼마입니까?

대답:

# k = 3 / 4 #

#P (x> 1) = 1 / 2 #

#E (X) = 1 #

#V (X) = 1 / 5 #

설명:

찾다 #케이#, 우리는 사용 # int_0 ^ 2f (x) dx = int_0 ^ 2k (2x-x ^ 2) dx = 1 #

#:. k 2x ^ 2 / 2-x ^ 3 / 3 _0 ^ 2 = 1 #

#k (4-8 / 3) = 1 # #=>## 4 / 3k = 1 ##=>## k = 3 / 4 #

계산하려면 #P (x> 1) #, 우리는 사용 #P (X> 1) = 1-P (0 <x <1) #

# 1-int_0 ^ 1 (3/4) (2x-x ^ 2) = 1-3 / 4 2x ^ 2 / 2-x ^ 3 / 3 _0 ^ 1 #

#=1-3/4(1-1/3)=1-1/2=1/2#

계산하려면 #전의)#

#x (x) = int_0 ^ 2xf (x) dx = int_0 ^ 2 (3/4) (2x ^ 2-x ^ 3) dx #

(16 / 3-16 / 4) = 3 / 4 * 16 / 12 = 1 # 3 / 4 2x ^ 3 / 3-x ^ 4 / 4

계산하려면 #V (X) #

E (X) = E (X ^ 2) -1 E (X ^ 2)

(x ^ 2) = int_0 ^ 2x ^ 2f (x) dx = int_0 ^ 2 (3/4) (2x ^ 3-x ^ 4) dx #

# = 3 / 4 2x ^ 4 / 4-x ^ 5 / 5 _0 ^ 2 = 3 / 4 (8-32 / 5) = 6 / 5 #

V (X) = 6 / 5-1 = 1 / 5 #