3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) ... 무한대 = 3 ^ (3/4)으로 표시하시오.

대답:

아래를 참조하십시오.

설명:

# 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) cdots = 3 ^ (1/3) xx 3 ^ (2/9) xx 3 ^ (3/27) cdots = 3 ^ (1 / 3 + 2 / 9 + 3 / 27 + cdots + n / 3 ^ n + cdots) = 3 ^ S #

와

#S = sum_ (k = 1) ^ oo n / 3 ^ n =? #

우리는 그것을 알고있다. (k = 1) ^ oo x x k = x d / (dx) sum_ (k = 1) ^ oo x ^ k #

또한 #abs x <1 #

#sum_ (k = 1) ^ oo x ^ k = 1 / (1-x) -1 # 과 # d / (dx) (1 / (1-x) -1) = 1 / (1-x) ^ 2 # 그때

#sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x / (1-x) ^ 2 # 그리고 #x = 1 / 3 # 우리는

#S = 3 / 4 # 마침내

# 3 ^ S = 3 ^ (3/4) #