두 동심원의 반지름은 16cm와 10cm입니다. AB는 더 큰 원의 직경입니다. BD는 D에서 접하는 작은 원에 접한다. AD의 길이는 얼마인가?

대답:

#bar (AD) = 23.5797 #

설명:

원산지 채택 #(0,0)# 에 대한 공통의 중심으로 # C_i # 과 # C_e # 전화 걸기 # r_i = 10 # 과 # r_e = 16 # 접촉점 # p_0 = (x_0, y_0) # 교차점에있다. #C_i nn C_0 # 어디에

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

이리 # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

해결을위한 #C_i nn C_0 # 우리는

# ((x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^

두 번째 방정식에서 첫 번째를 뺀다.

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # 그래서

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # 과 # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

마지막으로 찾은 거리는

#bar (AD) = sqrt ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

또는

#bar (AD) = 23.5797 #

설명:

만약 #bar (BD) # ~에 접함 # C_i # 그때 #hat (ODB) = pi / 2 # 그래서 우리는 피타고라스를 적용 할 수 있습니다:

# bar (OD) ^ 2 + bar (DB) ^ 2 = bar (OB) ^ 2 # 결정 # r_0 #

2-bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

요점 #디# 좌표 # (x_0, y_0) # 탐색 거리를 계산하기 전에 얻어야한다. #bar (AD) #

이를 수행하는 방법은 다양합니다. 다른 방법은

# y_0 = 바 (BD) 죄 (모자 (OBD)) # 그러나 #sin (모자 (OBD)) = 막대 (OD) / 막대 (OB) #

그때

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # 과

# x_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

주어진 데이터에 따라 위 그림이 그려집니다.

O는 두 동심원의 공통 중심입니다

#AB -> "더 큰 원의 직경"#

# AO = OB -> "더 큰 원의 반지름"= 16cm #

#DO -> "작은 원의 반경"= 10cm #

#BD -> "작은 원에 접함"-> / _ BDO = 90 ^ @ #

방해 # / _ DOB = theta => / _ AOD = (180-θ) #

에서 #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10 / 16 #

에서 코사인 법칙 적용 #Delta ADO # 우리는 얻는다.

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos / _AOD #

DO = 2 * AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos (180-θ) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => 광고 ^ 2 = 556 #

# => 광고 = sqrt556 = 23.58cm #