우리는 반경 r의 반 실린더 지붕과 높이 r의 사각 벽 4 개 위에 장착 된 높이 r을 가지고 있습니다. 우리는 200π m ^ 2의 플라스틱 시트를 사용하여이 구조물의 건설에 사용합니다. 최대 볼륨을 허용하는 r의 값은 무엇입니까?

대답:

# r = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

설명:

내가 이해할 때 질문을 다시 말해 보자.

이 물체의 표면적이 # 200pi #, 볼륨 최대화.

계획

표면적을 알면 높이를 표현할 수 있습니다. # h # 반경의 함수로서 #아르 자형#, 우리는 하나의 매개 변수 인 - 반지름의 함수로 볼륨을 나타낼 수 있습니다 #아르 자형#.

이 함수는 다음을 사용하여 최대화해야합니다. #아르 자형# 매개 변수로. 그것은 가치를 준다. #아르 자형#.

표면적 포함:

베이스의 둘레와 평행 육면체의 측면을 형성하는 4 개의 벽 # 6r # 높이 # h #, 총 면적은 # 6rh #.

1 개의 지붕, 반경의 실린더의 측면 표면의 절반 #아르 자형# 그리고 높이 #아르 자형#, 그 중 #pi r ^ 2 #

지붕의 2면, 반원의 반원 #아르 자형#, 총 면적은 #pi r ^ 2 #.

결과물의 총 표면적은

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

이것을 알면 # 200pi #, 우리는 표현할 수있다. # h # 의 관점에서 #아르 자형#:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

이 물체의 부피는 두 부분으로되어 있습니다. 지붕 아래와 지붕 안에 있습니다.

지붕 밑에는 기지의 면적으로 평행 육면체가 있습니다. # 2r ^ 2 # 높이 # h #, 그것의 양은이다

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

지붕 안에 반경이있는 반 실린더가 있습니다. #아르 자형# 높이 #아르 자형#, 그 볼륨은

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

우리는 함수를 최대화해야합니다.

# V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

그 모양은 (비례하지 않음)

그래프 {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}}

이 함수는 양수인 경우 파생 함수가 0 일 때 최대 값에 도달합니다.

# V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

의 영역에서 #r> 0 # 다음과 같은 경우 0과 같습니다. # r = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

이것은 표면적과 물체의 모양을 고려할 때 가장 큰 부피를 제공하는 반경입니다.