X ^ n의 파생물은 무엇입니까?

함수의 경우 #f (x) = x ^ n #, n은 아니 0이됩니다. 이유는 분명해질 것입니다. n은 또한 정수 또는 유리수 (즉, 소수) 여야합니다.

규칙은 다음과 같습니다.

# f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

다시 말해 우리는 x의 힘을 "빌려서"파생 함수의 계수로 만들고, 그 힘으로부터 1을 뺍니다.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

(x) = 1 / 2 * x ^ (- 1/2) #f (x)

앞서 언급했듯이 특별한 경우는 n = 0입니다. 이것은

#f (x) = x ^ 0 = 1 #

우리는 우리의 규칙과 기술적으로 정답을 얻으십시오.

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

그러나 나중에이 트랙의 아래에서, 우리는이 규칙의 반대를 사용하려고 할 때 복잡해집니다.

대답:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

아래는 모든 수에 대한 증명이지만, 모든 정수에 대한 증명 만이 파생 상품 정의의 기본 스킬 셋을 사용합니다. 모든 이성 분들에 대한 증명은 연쇄 규칙을 사용하며, 비합리적 인 사람들은 함축적 인 차별화를 사용합니다.

설명:

즉, 나는이 모든 것을 여기에 보여줄 것이므로, 그 과정을 이해할 수 있습니다. 그것을 조심하십시오. #의지# 상당히 길다.

에서 #y = x ^ (n) #, 만약 #n = 0 # 우리는 #y = 1 # 상수의 도함수는 0입니다.

만약 #엔# 우리가 미분 방정식에 던져 넣을 수있는 다른 양의 정수이고 이진 정리를 사용하여 혼란을 해결할 수 있습니다.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

(K-i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

어디에 # K_i # 적절한 상수입니다.

(K-i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

저것 나누기 # h #

(n-1) h (i-1) #y = lim_ (h rarr 0) Sigma_

합계에서 첫 학기를 꺼낼 수 있습니다.

(n-i) h ^ (i-1) # (n-1)

한도를 감안하면 나머지는 여전히 0으로 유지됩니다. 계산 중 # K_1 # 우리는 그것이 같음을 봅니다. #엔#, 그래서

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

에 대한 #엔# 그것은 음수인데 좀 더 복잡합니다. 그것을 아는 것은 # x ^ -n = 1 / x ^ b #, 그런 #b = -n # 그러므로 긍정적이다.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

(x + b) (x + b) = b (x + b))) #

(x-h) ^ b)) #y = lim_ (h rarr 0) (ΣSi (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)

첫 학기를 시작하십시오.

(x-b) (x + h) (1) 여기서, ^ b))) #

한계를 잡으십시오. # K_1 = b #, 그것을 다시 보충해라. #엔#

(b-1) = -K1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

rationalals 우리는 체인 규칙을 사용해야합니다. 나는 # f (g (x)) ^ '= f ^'(g (x)) g ^ '(x) #

그래서, # x ^ (1 / n) = 루트 (n) (x) # 가정 #n = 1 / b # 우리는

# (x ^ n) ^ b = x #

만약 #비# 심지어 대답은 기술적으로 # | x | # 그러나 이것은 우리의 목적에 충분히 가깝습니다.

그래서 우리는 체인 규칙을 사용합니다.

(1-n)) = nx (n-1) # (xx, nx) = 1 / (bx

그리고 마지막으로 암시 적 차별화를 사용하여 비합리적인 것을 포함하여 모든 실수를 증명할 수 있습니다.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #